Beweis: Ungleichung von Erwartungswerten

18.12.2006, 11:33

schlomo76

Beweis: Ungleichung von Erwartungswerten

Ich würde folgenden Beweis gern selber lösen, mir fehlt aber der Ansatz.

$\begin{eqnarray*} E|X+Y|\geq E|X-Y| \end{eqnarray*}$

Ich würd gerne die Betragsstriche auflösen, weiß aber einfach nicht mehr wie?

EDIT: Ich glaube mein Beitrag gehört in die Hochschulmathematik, kann denn jemand verschieben?

18.12.2006, 13:14

therisen

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Dein Wunsch ist mir Befehl

18.12.2006, 14:02

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Für allgemeine $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ ist diese Ungleichung schlichtweg falsch. Als Gegenbeispiel genügen z.B. die konstanten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X=1,Y=-1 \end{eqnarray*}$ .

18.12.2006, 14:30

schlomo76

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Ergänzung
Es handelt sich um unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen mit endlichem Erwartungswert.

EDIT: Ist die Ungleichung jetzt immer noch falsch? Wenn nicht, hat jemand einen Ansatz?

18.12.2006, 20:31

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Hmm, ich denke sie ist richtig. Hab aber selber noch eine Denkblockade... Natürlich kann man im Integral

$\begin{eqnarray*} E(|X+Y|-|X-Y|) = \int\limits_{\Omega} ~ (|X+Y|-|X-Y|) ~ \dd P \end{eqnarray*}$

das Integrationsgebiet $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ so in 4 Gebiete aufteilen, dass man dann jeweils die Betragsstriche auflösen kann. Allerdings sehe ich noch nicht, wie man das zielführend weiter umformt. verwirrt

Ist wahrscheinlich nicht schwer, ich seh's mir morgen nochmal mit klarem Blick an. Augenzwinkern

18.12.2006, 21:11

schlomo76

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Ermutigend, das auch andere die Aufgabe nicht mit einem Schnipp lösen.

18.12.2006, 22:08

Mathespezialschüler

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Nur mal so als Idee ... angenommen, das gilt tatsächlich, müsste dann nicht auch

$\begin{eqnarray*} E|X-Y|=E|X+(-Y)|\geq E|X-(-Y)|=E|X+Y| \end{eqnarray*}$

folgen, also insgesamt

$\begin{eqnarray*} E|X+Y|=E|X-Y| \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hilft das ja weiter, um ein Gegenbeispiel zu finden. Oder mir sagt jemand, dass ich hier irgendwo falsche Regeln angewendet habe.

Gruß MSS

18.12.2006, 22:15

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Das geht leider nicht: Es wird vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ identisch verteilt sind. Das überträgt sich nicht auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-Y) \end{eqnarray*}$ .

Aber danke, dass wenigstens noch einer nachdenkt.

18.12.2006, 22:39

schlomo76

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Frage: Ist folgende Idee sinnvoll?

$\begin{eqnarray*} |EX+EY|\geq|EX-EY| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |EX+EY|-|EX-EY|\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2sgn(EX\cdot EY)min\{|EX|, |EY|\}= |EX+EY|-|EX-EY|\geq0 \end{eqnarray*}$

18.12.2006, 22:50

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Es geht um $\begin{eqnarray*} E|X-Y| \end{eqnarray*}$ , nicht um $\begin{eqnarray*} |EX-EY| \end{eqnarray*}$ . Die Betragsstriche kannst du nicht nach außen ziehen - schön wär's... Augenzwinkern

18.12.2006, 23:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Aber danke, dass wenigstens noch einer nachdenkt.

Kein Problem, auch wenn ich nicht weiterhelfen konnte. Augenzwinkern

Gruß MSS

17.01.2007, 11:12

schlomo76

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Lösung
Ich will nun auch die Lösung beitragen:

Vorüberlegung:
$\begin{eqnarray*} |X+Y|-|X-Y|=2sgn(XY)min(|X|,|Y|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E|X+Y|-E|X-Y|=2E(sgn(XY))min(|X|,|Y|) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2E(sgn(XY)min(|X|,|Y|)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2Esgn(XY))E(min(|X|,|Y|)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sgn(X), |X| \end{eqnarray*}$ sind unabhängig
$\begin{eqnarray*} =2E(sgn(X)sgn(Y))E(min(|X|,|Y|)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2Esgn(X)Esgn(Y)E(min(|X|,|Y|)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2(EsgnX)^2E(min(|X|,|Y|)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$

fertig

17.01.2007, 11:42

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RE: Lösung

Zitat:

Original von schlomo76
$\begin{eqnarray*} sgn(X), |X| \end{eqnarray*}$ sind unabhängig

Das ist i.a. falsch. Ist aber auch egal, da du das hier gar nicht brauchst - vermutlich hast du dich hier nur verschrieben:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn}(X), \operatorname{sgn}(Y) \end{eqnarray*}$ sind unabhängig, bzw.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn}(X)\cdot \operatorname{sgn}(Y), \min(|X|,|Y|) \end{eqnarray*}$

Das wäre das, was du oben brauchst, und das dürfte auch stimmen - man sollte vielleicht da zur Begründung noch ein paar Worte verlieren.

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