Injektivität

27.07.2011, 12:43

netcrack

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Injektivität

moin moin,

Folgende Aufgabe bereitet mir ein bisschen Probleme.

Seien X,Y und Z Mengen und $\begin{eqnarray*} f : X \to Y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g : Y \to Z \end{eqnarray*}$ Abbildungen.

Man beweise folgenden Behauptung:

Ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

okay ich habe mir das so gedacht:

$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist injektiv wenn jedes Element von Z höchstens ein Urbild in X hat.

Wie stelle ich jetzt fest ob daraus auch folgt das jedes Element in Y auch nur ein Urbild in X hat??

27.07.2011, 12:47

leithian

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Hey,

wie zeigt man Injektivität?

27.07.2011, 13:03

netcrack

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in dem man zeigt das aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x') \end{eqnarray*}$ folgt das $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$

27.07.2011, 13:09

leithian

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und nun hindert dich ja nichts daran auf deine erste Gleichung mal g anzuwenden und dann mal zu schaun was passiert. smile

smile

27.07.2011, 13:42

netcrack

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okay... ich versuch es mal

Da $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ja injektiv ist, ist

$\begin{eqnarray*} g( f (x))=g( f (x')) \Rightarrow x=x' \end{eqnarray*}$

sorry ich scheinne gerade auf dem Schlauch zu stehen -.-
Mehr fällt mir gerade nicht dazu ein ^^

27.07.2011, 13:47

fleurita

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schau mal, das kann dein ansatz sein:

wissen: $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist injektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x, x' \in X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(f(x))\neq g(f(x')) \end{eqnarray*}$ , wenn x ungleich x' ist

versuchs mal mit nem widerspruchs beweis: Annahme: es existieren ungleiche x, x' aus X mit f(x)=f(x'). Dann....

den rest schaffst du smile

smile

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27.07.2011, 13:55

leithian

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Sei $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) ~ \Rightarrow ~ g(f(x_1)) = g(f(x_2)) ~ \Rightarrow ~ x_1 = x_2 ~ \Rightarrow ~ \end{eqnarray*}$ f injektiv?

27.07.2011, 14:28

fleurita

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@ leithian:

aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) ~ \Rightarrow ~ g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ folgt aber nit, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ ist....

27.07.2011, 14:33

leithian

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doch g o f ist nach Vor injektiv ?

27.07.2011, 14:35

fleurita

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ja dann schon : )

27.07.2011, 14:48

netcrack

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sorry wenn ich gerade suf dem schlauch stehe.

aber warum folgt aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow g ( f (x_1))= g ( f(x_2)) \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

ich schreibe mir dass am besten noch ein mal auf und versuche es zu verstehen ^^

27.07.2011, 15:12

Jeremy124

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Zu zeigen ist ja:

$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \implies f \end{eqnarray*}$ injektiv

Die "Strategie" des Beweisen ist eine einfache Gegenannahme. D.h. angenommen es gilt

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht infektiv $\begin{eqnarray*} \wedge \; g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv.

Das heißt wiederrum:

$\begin{eqnarray*} \exists_{x_1,x_2} \; x_1 \ne x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2) \wedge \left( (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \implies x_1 = x_2 \right) \end{eqnarray*}$

Und daraus leitest du jetzt einen Widerspruch zur Annahme her Freude

Freude

29.07.2011, 10:40

netcrack

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Zitat:

Original von Jeremy124
Zu zeigen ist ja:

$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \implies f \end{eqnarray*}$ injektiv

Die "Strategie" des Beweisen ist eine einfache Gegenannahme. D.h. angenommen es gilt

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht infektiv $\begin{eqnarray*} \wedge \; g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv.

Das heißt wiederrum:

$\begin{eqnarray*} \exists_{x_1,x_2} \; x_1 \ne x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2) \wedge \left( (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \implies x_1 = x_2 \right) \end{eqnarray*}$

Und daraus leitest du jetzt einen Widerspruch zur Annahme her Freude

Freude

moin

Sorry das ist erst heute wieder zurückschreibe, ging aber nicht früher.
habe mir aber noch ein Paar gedanken dazu gemacht.

Ich habe das mit den beweistechniken noch nicht so drauf ^^ und weis auch noch nicht wie man einen wiederspruch herleitet.
Ich versuche mir solche sachen immer anhant kleiner beispiele zu verdeutlichen.
z.B.:

Sei zum beispiel f(x)=x^2 (also nicht injektiv) und g(x)=x+2 (injektiv)

weiter ist dann

$\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x)= x^2+2 \end{eqnarray*}$ (also nicht injektiv)
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x)=(x+2)^2 \end{eqnarray*}$ (also auch nicht injektiv)

ich komme aber einfach nicht drauf warum denn f injektiv sein muss wenn f o g es ist.

29.07.2011, 11:41

Mulder

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Mit Beispielen ist das immer so eine Sache. Und x² kann durchaus auch injektiv sein, es kommt immer auf Definitonsbereich und Wertebereich an, da muss man immer vorsichtig sein, wenn man sich Beispiele bastelt.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R_+ \to \mathbb R \, , \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

ist beispielsweise injektiv!

Und es ging doch darum, dass g o f injektiv ist, warum fragst du nun nach f o g ?

Kenntnisstand:

$\begin{eqnarray*} g(f(x))=g(f(x')) \quad \Rightarrow \quad x=x' \end{eqnarray*}$

Das heißt, $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist injektiv. So, nun nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist. Das heißt, es gibt $\begin{eqnarray*} y,y' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \neq y' \end{eqnarray*}$ , für die aber gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(y)=f(y') \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt wende mal auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an. Dann sollte es eigentlich sofort klar sein.

29.07.2011, 11:51

netcrack

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Willst damit sagen das wenn:

$\begin{eqnarray*} f(y)=f(y') \Rightarrow y \ne y' \end{eqnarray*}$ daraus auch $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = g(f(y')) \Rightarrow y \ne y' \end{eqnarray*}$

folgt??

29.07.2011, 12:40

Mulder

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Diese Folgepfeile sind völlig unsinnig. Denk nochmal drüber nach. Oder schreib es vernünftig hin.

29.07.2011, 15:49

netcrack

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Das ist ja mein Problem. Ich weiß nicht wie man das vernünftige hinschreibt.
Ich denke aber ich habe es jetzt aber verstanden.
Ich weiß nur nicht wie ich es einschreiben soll!!

29.07.2011, 15:53

Mulder

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Wenn du verstanden hast, worauf es hinausläuft, sollte das Hinschreiben kein Problem mehr sein. Aber auch das kann und muss man natürlich üben. Kannst du gerne am Beispiel dieser Aufgabe hier im Forum noch machen, wenn du willst. Einfach probieren, dann kann man es gegebenenfalls auch korrigeren.

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