Geometrische Warscheinlichkeit

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Roos Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Warscheinlichkeit
Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier diese Aufgabe , bei der ich irgendwie nicht weiterkomme:

Aus dem Intervall [-1 ; 1] werden 2 reelle Zahlen y und x zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
a) die Summe aus den Quadraten der beiden Zahlen nicht größer als 1?
b) die Summe der beiden Zahlen gleich 1?

Meine Ideen:
Im Prinzip muss man doch ein Quadrat in einem Koordinatensystem aufstellen, das von -1 bis 1 jeweils geht. Da hinein müsste man nun eine Funktion einzeichnen, die die gesuchte Fläche umschließt.
Bei a) kann ich die Funktion nicht finden, gibts dafür irgendeinen Trick?
Bei b) ist für mich das Problem, dass es um keine Grenze geht, die irgendeine Fläche umschließen könnte...

Wenn irgendwer eine Idee hat, wäre ich sehr dankbar, es muss keine ganze Lösung sein, ein Anstoß würde vermutlich vollkommen reichen.... Vielen Dank schon mal im Voraus
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Roos!

zu a): Wie lautet denn die Ungleichung, die die beiden Zahlen x und y erfüllen müssen? Wenn Du in dieser Ungleichung das Ungleichheits- durch ein Gleichheitszeichen ersetzt, bekommst du eine ganz bestimmte geometrische Figur (das ist kein Trick, sondern "gehobenes Grundwissen" Augenzwinkern )

zu b): Du hast völlig Recht mit Deiner anschaulichen Argumentation. Warum gibt es keine eingegrenzte Fläche? Und was schließt du daraus für die Wahrscheinlichkeit?
 
 
Roos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dustin,
danke für die schnelle Antwort smile ,
ja, bei der a) bin ich auch gradeben dadrauf gekommen, auf einmal hat sich ein Schalter umgelegt Hammer , ich arbeite mich erst gerade in diese Thematik ein...

Zur b) In gewisser Weise ist es da ja einfach eine Gerade, die durch die Fläche läuft, die Wahrscheinlichkeit ist dann wohl 0.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn jetzt Deine Antwort zu a)? Lass mich doch auch mal an deinem Geistesblitz teilhaben smile

b) Richtig. Nur dass es nicht die ganze Gerade ist, sondern nur der Teil der in dem ursprünglichen Quadrat eingeschlossen ist.
Roos Auf diesen Beitrag antworten »

a) Zum Zeitpunkt deiner Antwort war ich noch nicht fertig :-)...
Es ergibt sich ja diese Funktion: x^{2}+ y^{2}=1; also y= (1-x²)^1/2 , eine nach unten gebogene Parabel. Deren Inhalt habe ich dann mithilfe des Integrals von -1 bis 1 ausgerechnet und als Ergebnis 1,571cm² bekommen. Von dem Quadrat, dass ja 4cm² groß ist, sind das dann 0,39.
Ich würde sagen, dass das dann das Ergebnis sein sollte(?).
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Also, eine wirkliche Parabel ist das nicht (wegen des ^1/2, aber dein Integrationsergebnis stimmt schon mal. Allerdings ist das dann nur der Teil der Fläche oberhalb der x- Achse. Wenn man nämlich x²+y²=1 nach y auflöst, gibt es auch die Lösung y= - (1-x²)^1/2!

[Und mit "gehobenes Grundwissen" meinte ich, dass die Gleichung x²+y²=1 den Einheitskreis repräsentiert Augenzwinkern Wenn man das weiß, braucht man nix integrieren. Aber jetzt bist du eh schon kurz vorm Ziel]
Roos Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Einheitskreis war mir wirklich nicht bewusst.....
Vielen Dank jedenfalls, jetzt habe ich es begriffen smile
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Kontrolle: Was hast du jetzt raus?
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