EV/EW --> Charakteristisches Polynom ohne Fehler berchnen

27.07.2011, 18:49	Flyingiguana	Auf diesen Beitrag antworten »
EV/EW --> Charakteristisches Polynom ohne Fehler berchnen Hallo, ich schreibe bald meine Wiederholungsmatheklausur. Leider neige ich dazu mich echt immer auf dem Weg zum Charakteristischen Polynom via Sarrus Regel zu verrechnen (meistens beim ausrechnen ueberlese ich nen Minus oder so). Habt Ihr da irgendwelche Tipps/Hilfsmethoden, damit ich irgendwie heil durch komme? Vielleicht gibt es ja auch eine Art Pruefmethode wo ich irgendwie testen kann ob ich noch auf C.P. zusteuere. ist echt aergerlich wenn ich immer erst alles durchrechnen muss um dann zu merken, ich finde keine Nullstellen
27.07.2011, 19:07	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Sauber arbeiten, Vorzeichen kontrollieren, Konzentration. Ansonsten würde ich je nach Beschaffenheit der Matrix (gibt es Zeilen/Spalten mit vielen 0en?) den Entwicklungssatz nach Laplace verwenden.
27.07.2011, 19:10	Flyingiguana	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Laplace geht leider nicht so oft. Dachte es gibt vielleicht noch nen effektiveren Kontrollweg. Danke Dir. Auch wenn es gerade nicht ganz direkt zu meiner Frage gehoert, kann man die PQ Formel um die EW zu berechnen auch anwenden, wenn der erste Koeffizient negativ ist? also bei: -x^2+5x+3
27.07.2011, 19:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Anwendung der pq-Formel musst du die entstehende Gleichung normieren, du kannst sie also nicht sofort anwenden. Einfache Kontrollen hängen immer von der Matrix ab, bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 7 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man z.B. den Eigenwert $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ sofort "sehen".
27.07.2011, 19:53	Flyingiguana	Auf diesen Beitrag antworten »
ok wir haben vielleicht aneinander vorbei geredet, aber das war gut so, denn jetzt habe ich bei Dir noch etwas gefunden, was ich noch nicht so ganz verstehe: Wie kann ich denn bei Dir bei deiner Matrix direkt sehen dass der EW = 2 ist. Ich kenn das bei Diagonalmatrizen, da stehen die EW auf der Spur. Bei Dir liegt die Diagonalmatriz noch nicht vor. Woher also kann ich das bei deiner Matrix erkennen? Weil der erste Zeilenvektor und Spaltenvektor ausser der 2 keine weiteren Ziffern beinhaltet, ist das die Begruendung? Zu meinem PQ Problem: Wenn ich das charakteristische Polynom aufgestellt habe gehen wir bei uns in der Uni weiter so vor, dass wir mit Horner und dann PQ Formel die NS ermitteln. Ich hatte nach dem Horner dann eine Form wie -x^2+6x-9 raus. Wo ich dann einfach die ganze Zeile mal -1 multipliziert hab, damit ich die PQ Formel anwende. Wobei ich mir nicht sicher bin ob man das ueberhaupt darf oder ob ich die PQ Formel nicht einfach direkt tortz des "-x" also des Minus Zeichens schon anwenden darf.
27.07.2011, 19:58	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wäre eine Begründung für den Eigenwert 2, der erste kanonische Einheitsvektor ist in diesem Fall Eigenvektor wie man mit einfachem Nachrechnen zeigen kann. Zur pq-Formel: nein, du darfst auf $\begin{eqnarray} -x^2+6x-9=0 \end{eqnarray}$ natürlich nicht direkt die pq-Formel anwenden, weil der quadratische Ausdruck nicht normiert ist. Erst durch die Multiplikation mit (-1) kannst du diese verwenden.
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28.07.2011, 13:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein gilt übrigens bei Matrizen der Form $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ - wo B und C beliebige quadratische Matrizen sind - für das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} f_A \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f_A = f_B \cdot f_C \end{eqnarray}$ Das heißt aber für die Eigenwerte, dass die Eigenwerte von A gerade die Vereinigung der Eigenwerte von B und C sind, wobei sich die Vielfachheiten (sowohl algebraisch als auch geometrisch) addieren. In deinem Fall ist eben $\begin{eqnarray} C = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Und eine 1x1-Matrix hat natürlich immer genau den Eigenwert, der da eben als Zahl drinsteht. Deswegen sieht man bei dieser Matrix sofort den EW 2. PS: Die (fast) selbe Aussage gilt übrigens auch für Matrizen der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} B & D \\ 0 & C \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Einziger Unterschied: In diesem Fall kann es passieren, dass sich die geometrischen Vielfachheiten nicht addieren, wie man an dem Beispiel $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sieht.

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