Konvexität

28.07.2011, 11:13	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexität Hallo miteinander! Folgende Aussage habe ich im Königsberger gelesen: "Das Beispiel f(x) = \|x\| zeigt, dass eine konvexe Funktion nicht differenzierbar sein muss." ABER: f(x) = \|x\| ist doch differenzierbar?! Es gilt doch: f'(x) = x/((x^2)^(1/2)) Oder habe ich die Aussage irgendwie falsch verstanden? Liebe Grüsse, Leo
28.07.2011, 11:17	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Betragsfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
28.07.2011, 11:20	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke..dann habe ich aber die Frage: Wäre es in diesem Fall nicht besser, dem Satz ein "überall" hinzuzufügen, also: "...eine konvexe Funktion nicht überall differenzierbar sein muss."? ..wenn ich aber die Ableitung im Nullpunkt nehme, erhalte ich einfach 0. Ist sie deshalb im Nullpunkt nicht diff'bar?
28.07.2011, 11:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise wird die Bezeichnung der differenzierbaren Funktion als überall differenzierbare Funktion aufgefasst; eine Funktion $\begin{eqnarray} f: D\rightarrow \mathbb R,~D\subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ ist differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt $\begin{eqnarray} x\in D \end{eqnarray}$ differenzierbar bzw. in den Randpunkten einseitig differenzierbar ist. Und du kannst im Nullpunkt die Ableitung nicht bestimmen, weil sie nicht existiert, auch 0 ist nicht der Wert der Ableitung an dieser Stelle.
28.07.2011, 11:30	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh..vielen Dank für deine Erläuterungen! Ist das also ein Bug? wolframalpha.com/input/?i=%28abs%280%29%29%27
28.07.2011, 11:38	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach sorry..war ne dumme Frage. Der links- und rechtsseitige Grenzwert unterscheidet sich ja auch. Links ist die Steigung -1, rechts 1 - und auch für x->0 nähern sich die beiden nicht --> nicht diff'bar in 0. Alles klar, ich danke dir vielmals!
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28.07.2011, 11:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \|0\| \end{eqnarray}$ , also der konstanten Funktion die alles auf 0 schickt. Diese ist überall differenzierbar. Für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \left(\|x\|\right)'=\frac x{\|x\|} \end{eqnarray}$ , dieser Ausdruck ist für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nicht definiert. Anders kann man mal versuchen die Ableitung für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ über den Differentialquotienten zu berechnen, damit lässt sich auch nachweisen, dass die Betragsfunktion im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.
28.07.2011, 11:42	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
..oder eben per links- und rechtsseitigem Grenzwert, oder?
28.07.2011, 11:58	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wäre auch eine Möglichkeit.

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