Taylorformel - Intervall angeben

28.07.2011, 16:32	susi_taylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorformel - Intervall angeben Meine Frage: $\begin{eqnarray} f(x)=cos(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ ist an der stelle $\begin{eqnarray} x_{0}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ durch die taylorformel vom grad n=3 zu approximieren. in welchem intervall für x is der fehler keiner als $\begin{eqnarray} 10^{-4} \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Hallo habe die taylorformel aufgestellt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}-(x-\frac{\pi}{2})/(2\sqrt{2}))-....+O((x-\frac{\pi}{2} )^4) \end{eqnarray}$ aber wie kann ich das mit dem intervall machen? habe gerade absolut keinen plan. danke euch!
28.07.2011, 16:57	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Dazu brauchst du eine konkrete Darstellung des Restglieds, die O-Notation reicht da nicht. Stichworte sind: Lagrange'sches Restglied, Restglied von Cauchy, Schlömilch Da kann man sich was passendes aussuchen.
29.07.2011, 00:20	susi_taylor	Auf diesen Beitrag antworten »
wir müssen es mit dem restglied von lagrange machen. 4.Ableitung/4!*x^4 aber wie weiter?
29.07.2011, 00:52	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
O.k. dann weisst du ja, dass für jedes x gilt $\begin{eqnarray} \|f(x) - \text{Taylorpolynom}\| = \left\|\frac{[ \text{4. Ableitung an einer Stelle $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$}] }{4!} (x-x_0)^4\right\| \end{eqnarray}$ Schätze die 4. Ableitung nach oben ab, z.B. kannst du dazu verwenden, dass gilt $\begin{eqnarray} \|\cos(x)\|\le 1 \end{eqnarray}$ . Damit hast du dann da stehen $\begin{eqnarray} \|f(x) - \text{Taylorpolynom}\| = \left\|\frac{[ \text{4. Ableitung an einer Stelle $\xi$ zwischen $x_0$ und $x$}] }{4!} (x-x_0)^4\right\| \le \frac{M}{4!} (x-x_0)^4 \end{eqnarray}$ Nun musst du bloss noch herausfinden, für welche x die rechte Seite $\begin{eqnarray} <10^{-4} \end{eqnarray}$ ist. (Das M ist darin deine Abschätzung.)
29.07.2011, 09:02	susi_taylor	Auf diesen Beitrag antworten »
moin, danke. also wenn zb. für alle x die beziehung $\begin{eqnarray} \|cos(x)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ gilt, kann man ja schlussfolgern das $\begin{eqnarray} \|cos^{n+1} (M)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ ohne die Stelle M genau zu kennen, oder? Dann wäre der absolute Betrag des Restgliedes: $\begin{eqnarray} \|R_{n}(x)\|\leq \frac{1}{(n+1)!})\|x-x_0\|^{n+1} \end{eqnarray}$ Also in meinem Fall: $\begin{eqnarray} \|R_{3}(x)\|\leq \frac{1}{4!}\|x-\frac{\pi }{2} \|^{4} \end{eqnarray}$
29.07.2011, 09:12	susi_taylor	Auf diesen Beitrag antworten »
als intervall habe ich dann raus 1<x<2 is das korrekt?
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02.08.2011, 22:17	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe auch mal gerechnet. Ich komm nur auf ca. 1.13.... < x < 2.01... als sicheres Intervall.

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