Gruppen der Ordnung p^2

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung p^2
Hallo,

mit der Klassengleichung kann man ja recht einfach zeigen, dass jede Gruppe G der Ordnung p^2 abelsch ist. Nun wollte ich das auch einmal etwas elementarer herleiten, doch leider ist mir das nicht gelungen.

Habe mir zum Beispiel überlegt, dass, wenn G nicht abelsch ist, jedes Element außer der 1 von Ordnung p sein müsste (da G sonst zyklisch und damit abelsch wäre).

Nimmt man zwei Elemente g,h aus G, die nicht kommutieren, so kann man jedes Element aus G durch darstellen. Insbesondere muss auch das Inverse von gh so darstellbar sein, also weiß man, dass es ein i und ein j gibt, so dass:


Doch leider weiß ich nicht, wie ich das zum Widerspruch führen kann und damit zeigen kann, dass g und h doch kommutieren.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn mal deinen Ansatz verfolgt, aber statt dem Inversen von gh mal hg darstellt, kommt man ja auf:

mit

Wählt man nun mit , so erhält man

, was wiederum

und schließlich



liefert.

Wenn man das ganze jetzt nochmal so ähnlich durchspielt, kommt man schließlich auf

, also .
 
 
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe, aber ich fliege schon sehr früh raus. Wieso gilt ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere von links mit und von rechts mit
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Multipliziere von links mit und von rechts mit


Dann habe ich da

stehen, doch woher weiß ich nun, dass das gh ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, in der Tat. Das bringt ja gar nichts. Da war ich zu voreilig. Das ist dann wohl auch nicht mehr zu retten.

Ich habe selbst mal einen elementaren Beweis dieser Aussage zwecks eines Übungblattes in mehreren Schritten geführt, aber im Nachhinein betrachtet wurde dabei einfach nur der Beweis für die von dir angesprochene Klassengleichung und die entsprechende Folgerung daraus imitiert. So richtig was neues wäre das also nicht.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Schade Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht willst du den Beweis ja trotzdem mal führen, es kann ja schließlich nur dem Verständnis dienen. Die Schritte waren in etwa so:

1. Nachweisen, dass eine Untergruppe ist.

2. Eine Bijektion zwischen und angeben.

3. Zeigen, dass G die disjunkte Vereinigung gewisser 's ist.

4. Folgern, dass es ein nicht-triviales mit gibt.

5. Folgern, dass G abelsch ist.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

2. Eine Bijektion zwischen und angeben.

Die erste Menge ist ja einfach , richtig? Da ich in 1 nur zeigte, dass Untergruppe ist, aber nichts von Normalität, ist auch keine Gruppe. Um nun zu zeigen, dass es eine Bijektion gibt (muss ja kein Isomorphismus sein, ginge ja auch nur, wenn normal wäre, was es aber, wie eben erwähnt, nicht ist (oder was wir zumindest nicht gezeigt haben)), reicht doch folgendes zu zeigen:



Richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sollte reichen.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Ja, das sollte reichen.


Die Richtung von links nach rechts habe ich geschafft, nur die Rückrichtung leider nicht. Hast du da einen Tipp?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Gleichheit der Nebenklassen zu zeigen, reicht es ja zu zeigen.

Fange nun mit der rechten Seite an und bringe den obigen Ausdruck auf eine Seite und zeige dann, dass die andere Seite mit g kommutiert.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, sorry. Das ist ja trivial.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
3. Zeigen, dass G die disjunkte Vereinigung gewisser 's ist.


Kann man das so machen?

Ich zeige das, indem ich zeige, dass zwei 's entweder disjunkt oder identisch sind. Da für jedes auch gilt, habe ich damit die Aussage gezeigt.

Sei fest und es gelte .
Zu zeigen: Für alle gibt es ein , so dass .
Wir wählen und sehen, dass erfüllt ist.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
4. Folgern, dass es ein nicht-triviales mit gibt.


Durch Aussage 2 wissen wir, dass jedes 1,p oder Elemente hat. Da , muss es in unserer disjunkten Vereinigung noch mindestens weitere einelementige 's geben, um in der Summe auf kommen zu können.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
5. Folgern, dass G abelsch ist.


Aus dem, was ich in 4 schrieb, folgt, dass es mindestens p Elemente gibt, die mit allen anderen kommutieren, das Zentrum ist also nicht trivial. Wie geht's nun weiter?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir ein nicht triviales g aus dem Zentrum und betrachte nun die beiden Fälle:




Zeige in beiden Fällen, dass x mit jedem Element kommutiert.
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