stückw. stetige Kurve

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
stückw. stetige Kurve
Meine Frage:
Aufgabe war es, Folgendes zu zeigen:

Sei offen und eine (stetige) Kurve mit . Dann gibt es auch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit .

Als Tipp wurde gegeben, daß man die Kompaktheit von und die gleichmäßige Stetigkeit von auf nutzen soll.


Einen Beweis findet man u.a. bei Forster, Analysis 3:

Zitat:
Forster, Analysis 3

Beweis:

Da eine kompakte Teilmenge von U und abgeschlossen ist, gibt es ein , so dass für alle und [...]. Da gleichmäßig stetig ist, gibt es eine Unterteilung , so dass

für alle .

Wir definieren jetzt als den Polygonzug mit den Eckpunkten , d.h.

für und .

Dann gilt und ist eine stückweise stetig differenzierbare Kurve, die p mit q verbindet.




Meine Fragen hierzu sind:

1.) Warum braucht man die Kompaktheit?
2.) Warum braucht man die gleichmäßige Stetigkeit?
3.) Warum ist die Kurve von der man ausgeht "nur" stetig, die stückweise Kurve soll aber stetig differenzierbar sein?


Eine allgemeinere Frage zum Thema Pfaffsche Formen noch:

Bei Kurvenintegralen braucht man doch stetig differenzierbare Kurven, wenn ich das richtig sehe. Jedenfalls wird das bei Forster so eingeführt. Außerdem sollen die Pfaffschen Formen stetig sein:

Wieso müssen sowohl die Pfaffsche Form, als auch die Kurve, über die man sie integrieren will, stetig (bzw. stetig differenzierbar) sein?

Meine Ideen:
...
Auli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stückw. stetige Kurve
So spontan:
Da die Funktion für x->1 divergiert kannst du eben nicht diese Aufteilung finden, da du dir kein festes Epsilon wählen kannst, dass das passt.
Vom Rest hab ich leider nicht so viel ahnung =)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Im Beweis wird doch eigentlich sehr genau genannt wozu man Kompaktheit und gleichmäßige Stetigkeit braucht.

Die Kompaktheit braucht man, damit der Abstand von und echt positiv ist, sich also nach unten gegen ein geeignetes Epsilon abschätzen lässt. Das findet man in den meisten Ana2-Büchern als Beispiel oder Übungsaufgabe. Der Abstand zwischen zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen kann 0 sein (Graph von x -> 1/x und Achsenkreuz), ist wenigstens eine kompakt, so ist er immer positiv.

Die gleichmäßige Stetigkeit braucht man für diese Unterteilung. Den Beweis für die Exiszenz dieser müsste man eigentlich in jedem Ana1-Buch finden, weil man das auch beim Riemann-Integral benutzen kann.

Und zu 3)
Das ist ja genau der Sinn dieser Aussage. Wir fordern nur die Existenz eines stetigen Wegs und können dann sogar die Existenz eines stückweise stetig diffbaren Wegs folgern.

Das ist doch eigentlich recht gängig in der Mathematik. Aus wenig Vorraussetzungen versucht man möglichst viel zu folgern Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist, daß ich nicht verstehe, warum man überhaupt den Abstand braucht zwischen und :

Um dort das Epsilon "herzubekommen", das man dann universell für die gleichmäßige Stetigkeit anwendet?

Soll heißen: Der Abstand zwischen einem Punkt auf der Kurve und einem Punkt, der in liegt, ist immer größer dem Abstand der Funktionswerte zweier Punkte (also das sind zwei Punkte auf der Kurve), die dicht beieinander liegen und daher kann man diesen Abstand als universelles Epsilon wählen?


So?...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht diesen "Abstand" um zu garantieren, dass die Verbindungslinie zweier solcher Eckpunkte auch wirklich ganz in U liegt.

Um jeden Eckpunkt kann man eine Epsilon-Kugel (mit dem selben Epsilon für jeden Eckpunkt) wählen, die ganz in U liegt. In dieser Kugel liegt dann auch der benachbarte Eckpunkt und wegen der Konvexität einer Kugel dann natürlich auch die Verbindungsstrecke.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich irgendwie nicht so gut.

U ist doch ohnehin offen.

Dann ist es doch klar, daß man eine Kugel um jeden Punkt ziehen kann und die liegt in U...
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man beachte das Klein- ...ähh...Fettgedruckte. Augenzwinkern

Entscheidend ist, dass man für jeden Punkt auf der Kurve das selbe Epsilon wählen kann. Denn so kann man auf dieses eine Epsilon eben die gleichmäßige Stetikgeit anwenden und so eine Unterteilung finden.

Man kann natürlich zu jedem Epsilon eine solche Unterteilung finden. Aber im Allgemeinen wird es passieren, dass mit beliebig kleinem Epsilon auch die Anzahl der Stützpunkte, die man braucht, über alle Schranken wächst. Und dann scheitert der Beweis.

Deswegen ist die Kompaktheit wichtig.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Geht mir gerade noch nicht auf, aber bevor ich jetzt noch 100 Fragen stelle, denke ich mal die Nacht drüber nach.

Danke bis hierher!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann macht man das mit dem Abstand und dem EINEN Epsilon also quasi nur aus "Bequemlichkeitsgründen"? Damit man möglich bequem eine Unterteilung finden kann?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir ja leid, aber ich habe immer noch nicht so wirklich verstanden, wozu man den ganzen "Krams" mit dem Epsilon und der gleichmäßigen Stetigkeit macht.


Klar, man braucht irgendwie eine Unterteilung.
Wieso man die aber auf diesem Weg gewinnt, ist mir schleierhaft.


verwirrt

Ich weiß, daß es schonm versucht wurde, mir zu erklären.
Aber die Botschaft ist leider nicht angekommen. Hm.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage "Wozu macht man das" ist in der Mathematik generell immer schlecht, denn die Antwortet lautet: "Weil es so klappt".

Wichtig ist erstmal nur, dass du jeden Schritt des Beweises verstehst. Damit meine ich verstehen, warum dieser Schritt richtig ist. Wie siehts denn damit aus?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, fällt mir schwer, das voneinander zu trennen.

Ich verstehe, warum man bei gleichmäßiger Stetigkeit eine Unterteilung finden kann. Mir ist nur nicht klar, wieso man dieses Epsilon nimmt, das kleiner ist als der Abstand zwischen Punkten auf der Kurve und äußeren Punkten.

Naja, vielleicht verrenne ich mich da auch in was.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Erstmal sollte dir klar sein, warum dieses Epsilon existiert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist's mir aber leider nicht. Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hast du diese Frage dann nicht eher gestellt?

Ist dir die Existenz des Epsilon denn klar, wenn ich dir sage, dass für eine kompakte Menge und eine dazu disjunkte abgeschlossene Menge stets gilt:

.

Wenn nicht, dann schau dir noch mal genau den ersten Satz des Beweises an. Da wird nämlich nichts anderes gemacht, also diese Aussage ausgenutzt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja eine interessante Aussage!

Wie ließe sich ein Beweis davon führen/ beginnen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Z.b. indem man zeigt, dass die Abbildung und dann ausnutzt, dass stetige Abb. auf kompakten Mengen ihr Minimum annehmen.

Aber man (und das ist vielleicht lehrreicher in diesem Fall) auch direkt über die Definition von Kompaktheit gehen und solch ein konstruieren.

Wegen ist

Wähle nun ( ist offen) zu jedem ein mit und setze .

Die offene Überdeckung besitzt eine endl. Teilüberdeckung .

Nun ist mit :

für alle
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, es gibt also um jedes eine Epsilonkugel, die noch in enthalten ist.

Also muss der Abstand zwischen jedem Punkt in K und A jedenfalls größer als 0 sein.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »