Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV

28.07.2011, 21:53

Monika21

Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV

Hallo zussamen,

ich komme mit dem fongeden Beispiel nicht klar, und zwar kann mir bitte jemand erklähren wie man die beiden Varianzen berechnent, hier sind die Screenshots meiner Folien. Es handelt sich um eine Summe zwei standartnormalverteilte ZV (X1, X2 - N(0,1)).

[attach]20702[/attach]
[attach]20703[/attach]

Vielen Dank und liebe Grüsse,
Monic

29.07.2011, 09:26

Huggy

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RE: Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV
Welche Regeln für die Berechnung von Varianzen sind dir bekannt? Die musst du nur anwenden.

Und es heißt Standard.

29.07.2011, 10:07

Monika21

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RE: Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV
Hallo Huggy,

danke für deine Atwort, ich kenne viele Formel für die Varianz, da es sich hier um eine Summe zwei standardnormalverteilte ZV (also mit Varianz 1) handelt würde ich diese Formel vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} \sigma_{1+2} = \sqrt{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2} \end{eqnarray*}$

Die bringt mich aber leider nicht weiter, ich weiß wirklich nicht welche Formel ich verwenden soll und warum. Kriege ich noch ein Hinweis? verwirrt

Danke und liebe Grüsse,
Monic

29.07.2011, 10:15

Huggy

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RE: Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV
Das ist doch schon mal ein Anfang. Aber sicher kennst du noch mehr.

Betrachten wir mal $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ und nehmen abweichend zur Aufgabe an

$\begin{eqnarray*} Y_1=0.5 X_1 \end{eqnarray*}$ oder allgemeiner $\begin{eqnarray*} Y_1=a X_1 \end{eqnarray*}$

Wie würde sich jetzt die Varianz von $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ berechnen?

29.07.2011, 11:47

Monika21

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RE: Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV
Hallo Huggy,

das kenne ich natürlich auch... habe ich auch versucht...

Es ist ja einsichtlich, dass beide ZV linear transformiert sind, und die Varianzen sind nach der Formel mittransformiert: $\begin{eqnarray*} Y = \alpha X + \beta \implies Var(Y) = \alpha X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \sim N(0,1) \implies Var(X_1) = 1, Var(X_2) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bar{X_1} = \alpha X_1 + \beta = 0.5 X_1 + 2, \bar{X_2} = \alpha X_2 + \beta = X_1 + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y_1 = X_1 + X_2 + 2, Var(X_1) = 0.5, Var(X_2) = 1, Var(Y_1) = \sigma_{1+2} = \sqrt{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2} = \sqrt{ 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{1.25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y_2 = X_1 + 1.5 X_2 + 3, Var(X_1) = 1, Var(X_2) = 1.5, Var(Y_2) = \sigma_{1+2} = \sqrt{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2} = \sqrt{ 1^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \end{eqnarray*}$

Ops jetzt habe ich es endlich, die Formel ist für die Standardabweichung, wenn man es quadriert dann ergibt sich das Ergebnis, danke viel mals Freude

Und noch eine Frage bzgl. der Kovarianz die berechnet sich nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} \sigma_{XY} = E(XY) - (EX)(EY) = \mu_{XY} - \mu_X \mu_Y \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich $\begin{eqnarray*} \mu_{XY} \end{eqnarray*}$ ?

Danke und viele Grüsse,
Monic

29.07.2011, 12:00

Huggy

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RE: Varianz der Summe zwei standartnormalverteilte ZV

Zitat:

Original von Monika21

Und noch eine Frage bzgl. der Kovarianz die berechnet sich nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} \sigma_{XY} = E(XY) - (EX)(EY) = \mu_{XY} - \mu_X \mu_Y \end{eqnarray*}$

Der erste Teil der Formel ist richtig. Aber was soll $\begin{eqnarray*} \mu_{XY} \end{eqnarray*}$ sein? Ist mir unbekannt!

Du kannst folgendermaßen vorgehen: Multpliziere $\begin{eqnarray*} Y_1Y_2 \end{eqnarray*}$ aus. Danach kannst du $\begin{eqnarray*} E(Y_1Y_2) \end{eqnarray*}$ berechnen.

03.08.2011, 21:39

Monika21

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Ich brauche wieder Hilfe....
Hi Huggy,

ich komme mir der Aufgabe nicht klar.... auch mit Ausmultiplizieren geht leider nicht....

Also noch mal, es gilt:
$\begin{eqnarray*} Y_1 = 0.5X_1 + X_2 + 2, X_1, X_2 \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_2 = X_1 + 1.5X_2 + 3, X_1, X_2 \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

so wir wollen $\begin{eqnarray*} E(Y_1Y_2) \end{eqnarray*}$ berechnen, die Ausmultiplizierung ergibt:

$\begin{eqnarray*} E(Y_1Y_2) = E((0.5X_1+X_2+2)(X_1+1.5X_2+3))=<br /> E(0.5X_1^2+0.75X_1X_2+1.5X_1+X_1X_2+1.5X_2^2+3X_2+2X_1+3X_2+6) =<br /> =E(0.5X_1^2+1.5X_2^2+1.75X_1X_2+3.5X_1+6X_2+6) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig und $\begin{eqnarray*} \mu_{X_1}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_{X_2}=0 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} E(Y_1Y_2) = E(0.5X_1^2+1.5X_2^2+6) = 6 \end{eqnarray*}$ (Ist das richtig????)

$\begin{eqnarray*} \sigma_{Y_1Y_2} = E(Y_1Y_2) - (EY_1)(EY_2) = 6 - 3.2 = 6 - 6 = 0 \end{eqnarray*}$

was nicht sein kann, ich habe irgendwo ein Denkfehler... Wie kann man die Aufgabe lösen?

Danke und liebe Grüsse,
Monic

04.08.2011, 08:09

Huggy

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RE: Ich brauche wieder Hilfe....

Zitat:

Original von Monika21
$\begin{eqnarray*} E(Y_1Y_2) = E(0.5X_1^2+1.5X_2^2+6) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist das richtig. Aber dabei kommt dann nicht 6 heraus. Es ist doch

$\begin{eqnarray*} E(X_1^2) \neq 0 \quad E(X_2^2) \neq 0 \end{eqnarray*}$

04.08.2011, 08:22

HAL 9000

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@Monika21

Eine Anmerkung zur Symbolik: Du scheinst der Auffassung zu sein, dass Varianz $\begin{eqnarray*} Var \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung einer Zufallsgröße dasselbe sind. Dem ist aber nicht so, die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung.

Dieser Fehler durchzieht nahezu alle deine hingeschriebenen Formeln.

04.08.2011, 08:35

Monika21

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danke !!
Hi Huggy & HAL 9000,

@HAL9000 ja am Anfang habe ich das übersehen, aber jetzt weiß ich Bescheid und werde aufpassen, danke smile

@Huggy, na dann sind die Erwatrungswerte:
$\begin{eqnarray*} E(X_1^2) = 1 \quad E(X_2^2) = 1 \end{eqnarray*}$ , und es passt, letzte Frage wie ist das zu erklähren/begründen? Vielen dank smile

Grüsse,
Monic

04.08.2011, 08:41

Huggy

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RE: danke !!

Zitat:

Original von Monika21
@Huggy, na dann sind die Erwatrungswerte:
$\begin{eqnarray*} E(X_1^2) = 1 \quad E(X_2^2) = 1 \end{eqnarray*}$ , und es passt, letzte Frage wie ist das zu erklähren/begründen? Vielen dank smile

Na, du kennst doch von X1 und X2 die Varianz und die Standardabweichung. Jetzt schreib dir mal die Forrnel für die Standardabweichung hin. Daraus ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ .

04.08.2011, 09:11

Monika21

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Danke !!
Hallo Huggy,

danke ! Jetzt habe ich es endlich

$\begin{eqnarray*} Var(X_1) = E(X_1^2) - (E(X_1))^2, E(X_1^2)=Var(X_1)+(E(X_1))^2=1+0^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var(X_2) = E(X_2^2) - (E(X_2))^2, E(X_2^2)=Var(2_1)+(E(2_1))^2=1+0^2=1 \end{eqnarray*}$

Von daher folgt:

$\begin{eqnarray*} E(Y_1Y_2) = E(0.5X_1^2+1.5X_2^2+6) = 0.5\cdot1 + 1.5\cdot1 + 6 = 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma_{Y_1Y_2} = E(Y_1Y_2) - (EY_1)(EY_2) = 8 - 3\cdot2 = 8 - 6 = 2 \end{eqnarray*}$

Vielen vielen Dank !!!! Gott

Grüsse,
Monic

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