Spaltende Gruppenerweiterung isomorph zu semidirektem Produkt

28.07.2011, 22:38

mathinitus

Spaltende Gruppenerweiterung isomorph zu semidirektem Produkt

Mir ist das hier alles nicht so ganz klar. Vor allem ist ja irgendwie $\begin{eqnarray*} \gamma_h(n) \end{eqnarray*}$ gar nicht recht definiert, sondern nur das Bild davon unter i. Was soll das denn?

29.07.2011, 12:22

Leopold

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Löse nach $\begin{eqnarray*} \gamma_h \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} \gamma_h(n) = i^{-1} \left( s(h) i(n) s(h)^{-1} \right) \end{eqnarray*}$

Die Exaktheit der Sequenz bei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Wenn also $\begin{eqnarray*} s(h) i(n) s(h)^{-1} \end{eqnarray*}$ im Bild von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ liegt, ist $\begin{eqnarray*} \gamma_h \end{eqnarray*}$ wohldefiniert. Um Letzteres zu zeigen, berechne $\begin{eqnarray*} \pi \left( s(h) i(n) s(h)^{-1} \right) \end{eqnarray*}$ . Verwende, daß $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus mit $\begin{eqnarray*} \pi \circ s = \operatorname{id}_H \end{eqnarray*}$ ist und das Bild von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gleich dem Kern von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

29.07.2011, 15:41

mathinitus

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn also $\begin{eqnarray*} s(h) i(n) s(h)^{-1} \end{eqnarray*}$ im Bild von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ liegt, ist $\begin{eqnarray*} \gamma_h \end{eqnarray*}$ wohldefiniert. Um Letzteres zu zeigen, berechne $\begin{eqnarray*} \pi \left( s(h) i(n) s(h)^{-1} \right) \end{eqnarray*}$ . Verwende, daß $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus mit $\begin{eqnarray*} \pi \circ s = \operatorname{id}_H \end{eqnarray*}$ ist und das Bild von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gleich dem Kern von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

Kann ich, um die fette Aussage zu zeigen, nicht einfach wie folgt argumentieren?

i(N) liegt normal in G, da i(N) Kern von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist. Folglich gilt für beliebige $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} gi(n)g^{-1}\in i(N) \end{eqnarray*}$ . Also haben wir insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} s(h) i(n) s(h)^{-1}\in i(N) \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

30.07.2011, 11:19

Leopold

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Klingt gut.

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