Komplette Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

28.07.2011, 21:24

Meisel

Komplette Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Meine Frage:
Hallo Leute! smile

Ich wollte hier mal ein Beispiel für eine komplette Kurvendiskussion verfassen, in der Hoffnung, dass ein Profi über meine Lösungen schaut^^

Bei den x-Werten bin ich mir überhaupt gar nicht sicher ob sie richtig sind unglücklich

Schon mal vielen Dank für die Hilfe smile

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3-2,5x^2+x^4 \end{eqnarray*}$

a) Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-5x+4x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-5+12x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=24x \end{eqnarray*}$

b) Symmetrie

Achsensymmetrie: f(+x)=f(-x)
Punktsymmetrie: f(+x9=-f(-x)

Da der Term f(x) nur aus ungeraden Exponenten besteht, handelt es sich um Punktsymmetrie.

c) Grenzwertverhalten von $\begin{eqnarray*} \lim_{f(x) \to \infty } x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{f(x) \to +\infty } = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{f(x) \to -\infty } =+\infty \end{eqnarray*}$

d) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

--> y-Achsenabschnnitt

y= 0

$\begin{eqnarray*} f(0)=3-2,5*0^2+0^4=3 \end{eqnarray*}$

--> x-Achsenabschnitt

f(x)=0

$\begin{eqnarray*} 3-2,5x^2+x^4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2(x^2-2,5x+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-2,5x+3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm \sqrt({\frac{p}{2} })^2-q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-1,25}{2}\pm \sqrt{-1,4375} \end{eqnarray*}$

Da die Wurzel negativ ist, lassen sich keine NS auf der x-achse ermitteln.

e) Extremwerte und Monotonie

--> Notwendige Bedienung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\wedge f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-5x+4x^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^3-5x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3-1,25x}{x-0}=x^2-1,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=0\pm \sqrt{+1,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=0\pm 1,118 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=1,118 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=0 \end{eqnarray*}$

--> Hinreichende Bedienung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\wedge f''(x)>0\Rightarrow<br /> Minimum/Tiefpunkt<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\wedge f''(x)<0\Rightarrow Maximum/Hochpunkt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=3-2,5*0^2+0^4=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=-5+12*0^2=-5<0\Rightarrow HP/MAXI \end{eqnarray*}$

HP(0/-3)

$\begin{eqnarray*} f(1,118)=3-2,5*1,118^2+1^4=1,437 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1,118)=-5+12*1,118^2=9,999>0\Rightarrow TP/MIN \end{eqnarray*}$

TP(1,118/1,437)

--> Monotonie

$\begin{eqnarray*} (-\infty ;-1)\Rightarrow f'(0)=3 sms \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1;0)\Rightarrow f'(1,5)=6 sms \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (0;\infty )\Rightarrow f'(2)=22 sms \end{eqnarray*}$

sms=Streng monoton steigend

f) Wendepunkte und Krümmung

--> Notwendige Bedienung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\wedge f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-5+12x²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12x²-5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{5}{2}\pm \sqrt({\frac{-5}{2} })^2+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= 2,5\pm \sqrt{11,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2,5\pm 3,335<br /> <br /> [latex]x_{1}=5,835 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-0,835 \end{eqnarray*}$

--> Hinreichende Bedienung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\wedge f'''(x)>0 \end{eqnarray*}$ Linskrümmung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\wedge f'''(x)<0 \end{eqnarray*}$ Rechtskrümmung

$\begin{eqnarray*} f(5,835)=1,077 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(5,835)=140,04 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{1}(5,835/1,077) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-0,835)=3,211 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(-0,835)=-20,04 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{2}(-0,835/3,211) \end{eqnarray*}$

--> Krümmungsverhalten

$\begin{eqnarray*} I_{1}=)-\infty ;-0,835)\Rightarrow f''(-0,1)=-4,88<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{2}=(-0,835;5,835)\Rightarrow f''(1)=103>7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{3}=(5,835;\infty (\Rightarrow f''(4)=187>0 \end{eqnarray*}$

28.07.2011, 21:45

kasi

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RE: Konmplette Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=3-2,5x^2+x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-\frac{5}{2}x^2+3 \end{eqnarray*}$
besser nach den potenzen ordnen.

b)

$\begin{eqnarray*} f(-x)=(-x)^4-\frac{5}{2}(-x)^2+3=(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)-\frac{5}{2}\cdot(-x)(-x)+3=x^4-\frac{5}{2}x^2+3=f(x) \end{eqnarray*}$

Da nur gerade Exponenten vorhanden sind handelt es sich um eine gerade, Achsensymmetrisch Funktion.

c)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} = \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow -\infty} = \infty \end{eqnarray*}$

d)

$\begin{eqnarray*} f(0)=0^4-\frac{5}20^2+3=3 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ berechnest du nicht den Schnittpkt mit der y-Achse, sondern $\begin{eqnarray*} y=f(x)=0 \end{eqnarray*}$ bestimmt die Nullstellen. in R sind keine vorhanden.

28.07.2011, 22:02

kasi

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e)

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3-5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^3-5x=0 \end{eqnarray*}$

Satz vom Nullprodukt!

$\begin{eqnarray*} x(4x^2-5)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2-5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{5}4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{2,3}=\pm\sqrt{\frac{5}4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=-5<0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Hochpunkt

$\begin{eqnarray*} f''(\pm\sqrt{\frac{5}4})>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Tiefpunkt

28.07.2011, 22:07

Dopap

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@kasi: die Achsensymmetrie eines Polynoms muss in der Schule nicht vorgerechnet werden, wenn der Begriff des geraden Polynoms ( alle Exponenten gerade ) bekannt ist. Anscheinend trifft das hier zu.

wenn der Fragesteller meint, dass wegen eines negativen Radikanten keine Lösung existiert, dann ist das in Ordnung. Ein Hinweis "in R" stiftet evtl. nur Verwirrung.

28.07.2011, 22:18

kasi

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$\begin{eqnarray*} f'(x_0)>0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)<0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3-5x \end{eqnarray*}$

Intervalle:

$\begin{eqnarray*} ]-\infty;-\sqrt{\frac{5}4}[ \qquad f'(x)<0~\Rightarrow \end{eqnarray*}$ smf

$\begin{eqnarray*} ]-\sqrt{\frac{5}4};0[ \qquad f'(x)>0~\Rightarrow \end{eqnarray*}$ sms

$\begin{eqnarray*} ]0;\sqrt{\frac{5}4}[ \qquad f'(x)<0~\Rightarrow \end{eqnarray*}$ smf

$\begin{eqnarray*} ]\sqrt{\frac{5}4};\infty[ \qquad f'(x)>0~\Rightarrow \end{eqnarray*}$ sms

28.07.2011, 22:24

kasi

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Zitat:

@kasi: die Achsensymmetrie eines Polynoms muss in der Schule nicht vorgerechnet werden, wenn der Begriff des geraden Polynoms ( alle Exponenten gerade ) bekannt ist. Anscheinend trifft das hier zu.

ich war mir hierbei nicht sicher, aber ich glaube ich habe sowas schonmal in der schule gemacht...
wenn ich mich irre traue ich dem fragesteller trotzdem zu das zu verstehen ;-) , ansonsten darf er mir löcher in den bauch fragen smile

Zitat:

wenn der Fragesteller meint, dass wegen eines negativen Radikanten keine Lösung existiert, dann ist das in Ordnung. Ein Hinweis "in R" stiftet evtl. nur Verwirrung.

absolut korrekt... aber ich kanns nicht mehr entfernen...

28.07.2011, 22:42

Meisel

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Danke für die Antworten smile

Bei der Symmetrie ist mir der Fehler vorhin selbst aufgefallen, aber konnte es leider nicht mehr Editeren... verwirrt

So, ich werde die Fehler besser korrigieren und nochmal neu verfassen ^^ Mal gespannt ob es diesmal richtig ist... werd ich dann aber Morgen hier Posen smile

Vielen herzlichen Dank nochmal für die Hilfe smile

29.07.2011, 03:03

Meisel

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$\begin{eqnarray*} f(x)=3-2,5x^2+x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-2,5x^2+3 \end{eqnarray*}$

a) Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3-5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=24x \end{eqnarray*}$

b) Symmetrie

Da der Term f(x) aus geraden Exponenten besteht, handelt es sich um eine Achsensymmetrische Funktion.

c) Grenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \lim_{f(x) \to \infty } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{f(x) \to +\infty } = +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{fx) \to -\infty } =+\infty \end{eqnarray*}$

d) Koordinatenachsen

--> y-Achsenschnittpunkt

$\begin{eqnarray*} f(0)=0^4-2,5*0^2+3=3 \end{eqnarray*}$

--> x-Achsenabschnittpunkt

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-2,5x^2+3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm \sqrt({\frac{p}{2} })^2-q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{2,5}{2}\pm \sqrt({\frac{-2,5}{2})^2-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=1,25\pm \sqrt{-1,4375} \end{eqnarray*}$

Weil die Wurzel aus einem negativen Exponenten besteht, sind keine NS auf der x-Achse zu erkennen.

e) Extremwerte und Monotonie

--> $\begin{eqnarray*} f(x)=0\wedge f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3-5x=0 \end{eqnarray*}$

Satz vom Nullpunkt:

$\begin{eqnarray*} x(4x^2-5)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2-5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{5}{4}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=0\pm \sqrt{\frac{5}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=\sqrt{\frac{5}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}=-\sqrt{\frac{5}{4} } \end{eqnarray*}$

--> Hinreichende Bedienung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\wedge f''(x)<0\Rightarrow Hochpunkt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\wedge f''(x)>0\Rightarrow Tiefpunkt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{\frac{5}{4} })=0,344 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(\sqrt{\frac{5}{4} })=10>0 \end{eqnarray*}$ Tiefpunkt

$\begin{eqnarray*} TP(\sqrt{\frac{5}{4} }/0,344) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{\frac{5}{4} })=1,4375 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-\sqrt{\frac{4}{5} })=10>0 \end{eqnarray*}$ Tiefpunkt

$\begin{eqnarray*} TP(-\sqrt{\frac{4}{5} }/1,4375) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=-5<0 \end{eqnarray*}$ Hochpunkt

--> Monotonie

$\begin{eqnarray*} f'(x)>0\Rightarrow sms \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)<0\Rightarrow smf \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ]-\infty ;-\sqrt{\frac{5}{4} }[\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow smf \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ]-\sqrt{\frac{5}{4} } ;0[\Rightarrow f'(x)>0\Rightarrow sms \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ]0;\sqrt{\frac{5}{4} } [\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow smf \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ]\sqrt{\frac{5}{4} } ;0[\Rightarrow f'(x)>0\Rightarrow sms \end{eqnarray*}$

f) Wendepunkte und Krümmungsverhalten

--> Notwendige Bedienung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\wedge f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2-5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=x^2-\frac{5}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt({\frac{p}{2} })^2-q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=0\pm \sqrt{\frac{5}{12} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=\sqrt{\frac{5}{12} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3}=-\sqrt{\frac{5}{12} } \end{eqnarray*}$

--> Hinreichene Bedienung

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\wedge f'''(x)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0\wedge f'''(x)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{1}(0/3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{\frac{5}{12} } )=2,131 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(\sqrt{\frac{5}{12} } )=15,491>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{2}(\sqrt{\frac{5}{12} } /2,131) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{\frac{5}{12} } )=2,131 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(-\sqrt{\frac{5}{12} } )=-15,491<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_{3}(-\sqrt{\frac{5}{12} } /2,131) \end{eqnarray*}$

--> Krümmungsverhalten

$\begin{eqnarray*} I_{1}=)-\infty ;-\sqrt{\frac{5}{12} } )\Rightarrow f'''(x)<0 \end{eqnarray*}$
Rechtskrümmung

$\begin{eqnarray*} I_{2}=(-\sqrt{\frac{5}{12} } ;0\Rightarrow f'''(x)<0 \end{eqnarray*}$ Rechtskrümmung

$\begin{eqnarray*} I_{3}=(0;\sqrt{\frac{5}{12} } )\Rightarrow f'''(x)>0 \end{eqnarray*}$
Linkskrümmung

$\begin{eqnarray*} I_{4}=(\sqrt{\frac{5}{12} } ;\infty (\Rightarrow f'''(x)>0 \end{eqnarray*}$
Linkskrümmung

29.07.2011, 09:09

kasi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=1,25\pm \sqrt{-1,4375} \end{eqnarray*}$
Weil die Wurzel aus einem negativen Exponenten besteht, sind keine NS auf der x-Achse zu erkennen.

Kein schlimmer fehler, aber das was unter der wurzel steht wird als radikant oder diskriminante bezeichnet.
exponenten sind die hochzahlen.

zu den wendepunkten. hier gilt das gleiche wie ich schon bei deiner zweiten kompletten kurvendis geschrieben habe.

wenn der ausruck unter der wurzel größer gleich 0 ist bekommst du zwei lösungen, nicht 3.

29.07.2011, 15:46

Meisel

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f) Wendepunkte

$\begin{eqnarray*} x_{1}=+\sqrt{\frac{5}{12} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\sqrt{\frac{5}{12} } \end{eqnarray*}$

Sag bloß, dass Krümmungsverhalten war auch hier falsch widergegeben??

29.07.2011, 22:37

kasi

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mit falschen intervallen kannst du es nicht richtig wiedergeben...

30.07.2011, 00:39

kasi

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du bist sehr bemüht. ich hoffe ich kann dir damit etwas helfen.

[attach]20713[/attach]

es ist schon spät, hoffentlich hab ich keine größeren fehler reingebaut.

30.07.2011, 01:13

Meisel

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wuahaaa das ist ja toll!! DANKE DANKE DANKE Mit Zunge

richtig klasse! Freude

das könnte mir sogar sehr helfen Big Laugh

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