Ableitung ( x + a )^x

29.07.2011, 09:45

WaechterT

Ableitung ( x + a )^x

Meine Frage:
Wenn ich wie im Threadtitel die Ableitung in die Computeralgebra meiner Wahl eintippe erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \left( (x+a)^x \right)' = \left( \dfrac{a}{a+x} + \ln(a+x) \right) \cdot (a+x)^x \end{eqnarray*}$

Warum ist das so?

Meine Ideen:
Meiner Meinung nach ist

$\begin{eqnarray*} \left( b^x \right)' = b^x \cdot \ln(b) \end{eqnarray*}$

und mit der Kettenregel müsste gelten

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \\ \left( b(x)^x \right)' = b(x)^x \cdot \ln(b(x)) \cdot b'(x) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \left( (x+a)^x \right)' & = & (x+a)^x \cdot \ln(x+a) \cdot (x+a)' \\ & = & (x+a)^x \cdot \ln(x+a) \cdot 1 \\ & = & (x+a)^x \cdot \ln(x+a) \end{eqnarray*}$

Wo ist der Denkfehler?

29.07.2011, 10:07

Huggy

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RE: Ableitung ( x + a )^x

Zitat:

Original von WaechterT
$\begin{eqnarray*} \left( (x+a)^x \right)' = \left( \dfrac{a}{a+x} + \ln(a+x) \right) \cdot (a+x)^x \end{eqnarray*}$

Schreibfehler in der Formel!

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a+x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und mit der Kettenregel müsste gelten

$\begin{eqnarray*} \left( b(x)^x \right)' = b(x)^x \cdot \ln(b(x)) \cdot b'(x) \end{eqnarray*}$

Nein!
Schreib dir das mal ausführlich hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}b(x)^x=\frac{d}{dx}e^{x \ln b(x)}=e^{x \ln b(x)}\frac{d}{dx}(x \ln b(x)) \end{eqnarray*}$

Soweit die Kettenregel. Und für die Ableitung der Klammer gilt jetzt die Produktregel!

29.07.2011, 11:52

WaechterT

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RE: Ableitung ( x + a )^x
Hallo Huggy,

vielen Dank für die fixe Antwort.

Natürlich hatte ich mich vertippt im ersten Posting, das ist wahr.

Ich kenne zwar den "Trick", einen Term in Exponentialform umzuwandeln, bin aber nicht auf die Idee gekommen, dass dieser hier angewendet werden muss - ich hatte mir einfach die Ableitung zu $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ aus der Formelsammlung gegriffen und sie benutzt ohne sie zu verstehen ;-)

Wenn ich mir deine Erklärung ansehe ist das ja so, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} a^x & = & \frac{d}{dx} e^{\ln a^x} = \frac{d}{dx} e^{x \ln a} \\ & = & e^{x \ln a} \cdot \frac{d}{dx} x \ln a = a^x \cdot 1 \cdot \ln a \\ & = & a^x \cdot \ln a \end{eqnarray*}$

wie in der Formelsammlung. Soviel zum Thema, warum man die Herleitung kennen sollte wo man doch einfach nachschlagen kann Big Laugh

Aber so ist das natürlich auch mit meiner Summer klar:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (a+x)^x & = & \frac{d}{dx} e^{\ln (a+x)^x} = \frac{d}{dx} e^{x \ln (a+x)} \\ & = & e^{x \ln (x+a)} \cdot \frac{d}{dx} x \ln (a+x) \\ & = & e^{x \ln (x+a)} \cdot \left( 1 \ln (a+x) + \frac{1}{a+x} \cdot \frac{d}{dx} (a+x) \right) \\ & = & (x+a)^x \cdot \left( \ln (a+x) + \frac{x}{x+a} \right) \end{eqnarray*}$

Kann also die Computeralgebra doch wenigstens ableiten... ich hatte schon Sorgen um die *kicher*

29.07.2011, 12:09

Huggy

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RE: Ableitung ( x + a )^x
Du hast zwar das Ergebnis richtig dastehen, aber die vorletzte Zeile stimmt nicht. Korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(x \ln(a+x))=\ln (a+x)\frac{d}{dx}x+x \frac{d}{dx} \ln (a+x) \end{eqnarray*}$

29.07.2011, 12:17

WaechterT

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Stimmt, vor den letzten Summanden in der Klammer gehört noch ein x.
Ich muss mir dringend angewöhnen, Formeln sauber abzutippen *seufz*

Aber danke, ich habs jetzt verstanden.

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