umordnungssatz

29.07.2011, 12:41

Theta

umordnungssatz

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem beim Umordnungssatz von Reihen: Ich habe leider nicht ganz verstanden, warum alle Umordnungen den selben Grenzwert haben. (Ich hänge im Grunde nur an der letzten Zeile, s.u.)

Meine Ideen:
Nun um dies zu beweisen, müsste man ja zeigen können dass:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} = \sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} | \end{eqnarray*}$ (alles andere hab ich schon)
Nun nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent. Daher ex. ein N, so dass $\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{k=1}^n a_{k} - a| \leq E \end{eqnarray*}$ zu gegebenem E (f.a. k>=N), wobei $\begin{eqnarray*} a=\sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ . Ferner definieren wir $\begin{eqnarray*} b=\sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} | \end{eqnarray*}$ . Jetzt können wir sagen, dass ein E ex., so dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=n+1}^\infty |a_{k}|\leq \frac{E}{2} \end{eqnarray*}$ (hab ich auch schon gezeigt, will ich nicht vorführen). Da wir nun beweisen wollen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} = \sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} | \end{eqnarray*}$ , müsste gelten: $\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{k=1}^n a_{k} - b| \leq E \end{eqnarray*}$ für alle k>=N. Also ran an den Speck: Es ist
$\begin{eqnarray*} |\sum \limits_{k=1}^n a_{k}-b |=|\sum \limits_{k=1}^n a_{k}-\sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} ||<br /> =|\sum \limits_{k=1}^n a_{k}-\sum\limits_{k=1}^n | a_{k} |+\sum\limits_{k=1}^n | a_{k} |-\sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} ||<br /> \leq |\sum \limits_{k=1}^n a_{k}-\sum\limits_{k=1}^n | a_{k} ||+|\sum\limits_{k=1}^n | a_{k} |-\sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} ||\leq E \end{eqnarray*}$ .
Dieser Teil stimmt so: $\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{k=1}^n | a_{k} |-\sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} ||\leq E/2 \end{eqnarray*}$
Aber bei dem zweiten Term habe ich meine Schwierigkeiten:
$\begin{eqnarray*} |\sum \limits_{k=1}^n a_{k}-\sum\limits_{k=1}^n | a_{k} ||\leq E/2 \end{eqnarray*}$ . Müsste hier nicht die Bedingung gestellt werden, dass alle ak positiv sind?

29.07.2011, 12:53

juffo-wup

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Was für Voraussetzungen erfüllt denn die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ ?

29.07.2011, 12:55

Theta

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kann positiv wie negativ sein, spezielle Bedingungen sind ja nicht gestellt worden.

29.07.2011, 13:07

juffo-wup

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Dann gilt die Aussage $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k =\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| \end{eqnarray*}$ nicht. Sobald du ein negatives Glied $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ hinzufügst, ändert sich doch die linke Summe um diese negative Zahl und die rechte um den Betrag, also sind sie nicht mehr gleich.

29.07.2011, 13:14

Theta

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Wie könnte man denn alternativ zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k =\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| \end{eqnarray*}$ , oder geht das nicht (ohne spezielle Bedingung)?
wenn Nein wie können dann alle Umordnungen den selben Grenzwert haben (wenn die Reihe a_n absolut konvergent ist)?

29.07.2011, 13:22

juffo-wup

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Zitat:

Original von Theta
Wie könnte man denn alternativ zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k =\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| \end{eqnarray*}$ , oder geht das nicht (ohne spezielle Bedingung)?

Warum das nicht gilt, habe ich doch gerade gesagt.

Zitat:

wenn Nein wie können dann alle Umordnungen den selben Grenzwert haben (wenn die Reihe a_n absolut konvergent ist)?

Warum denkst du, dass daraus folgt, dass nicht alle Umordnungen den selben Grenzwert haben können?

29.07.2011, 13:28

Theta

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achso, dann konvergieren die Umordnungen gegen denselben Grenzwert, nur ist dieser nicht derselbe, wie der Grenzwert der eigentlichen Reihe, richtig?

29.07.2011, 13:29

juffo-wup

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Doch, wenn die Reihe absolut konvergent ist, konvergieren alle Umordnungen inklusive der ursprünglichen Reihe gegen den gleichen Grenzwert.

29.07.2011, 13:34

Theta

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$\begin{eqnarray*} a=\sum\limits_{k=1}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sum\limits_{k=1}^\infty | a_{k} | \end{eqnarray*}$ , dann müsste a=b sein, dies geht aber nur wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k =\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| \end{eqnarray*}$

29.07.2011, 13:38

juffo-wup

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Die Folge $\begin{eqnarray*} (|a_k|) \end{eqnarray*}$ ist keine Umordnung der Folge $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ . Eine Umordnung ist gegeben, wenn es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt sodass die zweite (umgeordnete) Folge gleich $\begin{eqnarray*} (a_{\varphi(k)}) \end{eqnarray*}$ ist.

29.07.2011, 14:07

Theta

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Dann stehen wir aber vor dem selben Problem, da $\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{k=1}^K | a_{\varphi(k)} |-\sum\limits_{k=1}^n a_{k}| \end{eqnarray*}$ (dieser Schritt ist ähnlich wie oben Zeile 10 des 1. Posts) (beachte die Menge 1 bis n ist in der anderen, also von 1 bis K enthalten)? Was wenn alle a_k negativ sind?

29.07.2011, 14:35

juffo-wup

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Warum willst du immer beweisen, dass eine Summe über Beträge gleich der Summe ohne Beträge ist? Das stimmt, wie schon gesagt, nicht.

29.07.2011, 16:35

Theta

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Umordnungssatz
Wie beweißt man es denn, oder woran sieht man es dann?

29.07.2011, 19:15

juffo-wup

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Sei $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=1}^{n_0} a_k - a\right|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n_0+1}^{\infty} |a_k| <\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$
(Die erste Bedingung ist Konvergenz und die zweite Cauchy-Folgen-Eigenschaft der Summe der Beträge.)

Sei $\begin{eqnarray*} n_0'\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sodass unter den Zahlen $\begin{eqnarray*} \varphi(1),\varphi(2),..,\varphi(n_0') \end{eqnarray*}$ die Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,2,..,n_0 \end{eqnarray*}$ alle vorkommen.

Dann ist doch für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0' \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=1}^{n} a_{\varphi(k)} -a\right| = \left|\sum_{k=1}^{n_0} a_k + \sum_{\text{restl.}\, k\leq n} a_{\varphi(k)} -a\right|\leq \left| \sum_{k=1}^{n_0} a_k -a \right| + \sum_{\text{restl.}\, k\leq n}| a_{\varphi(k)}| <\varepsilon \end{eqnarray*}$

29.07.2011, 19:36

Theta

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AHH

vielen Dank Gott

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