trigonometrie

29.07.2011, 16:42	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
trigonometrie hi, hab probleme mit folgender aufgabe: $\begin{eqnarray} \sin(x) +\cos(x)=\sqrt{2} \sin(2x) \end{eqnarray}$ hab folgendes bereits gemacht: $\begin{eqnarray} (\sin(x) +\cos(x))^{2} =2 \sin^{2}(2x) \end{eqnarray}$ quadriert $\begin{eqnarray} \sin(x)^{2}+\sin(2x)+\cos^{2}(x) =2 \sin^{2}(2x) \end{eqnarray}$ klammer erweitert $\begin{eqnarray} 1+\sin(2x) =2 \sin^{2}(2x) \end{eqnarray}$ trigonom. pythagoras ist das bis hier korrekt? wenn ja, wie geht es weiter?
29.07.2011, 17:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig, mit einer Einschränkung: Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung. Es können zwar dadurch keine Lösungen verloren gehen, wohl aber sich falsche Lösungen dazuschleichen. (Beispiel: Die Gleichung $\begin{eqnarray} x + 2 = 5 \end{eqnarray}$ hat nur die Lösung $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ , dagegen hat $\begin{eqnarray} (x+2)^2 = 25 \end{eqnarray}$ auch die Lösung $\begin{eqnarray} -7 \end{eqnarray}$ .) Du mußt daher mit den gefundenen Lösungen an der Originalgleichung noch die Probe machen, ob es tatsächlich Lösungen sind. Jetzt substituiere $\begin{eqnarray} t = \sin(2x) \end{eqnarray}$ .
29.07.2011, 18:04	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
jepp danke! aufgabe gelöst
30.07.2011, 11:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier kann man auch anders vorgehen. Es gilt nämlich nach dem Additionstheorem des Sinus $\begin{eqnarray} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sin x + \cos x \right) \end{eqnarray}$ Daher kann man die gegebene Gleichung folgendermaßen umformen: $\begin{eqnarray} \sin x + \cos x = \sqrt{2} \, \sin(2x) \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{2} \, \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \, \sin(2x) \ \ \Leftrightarrow \ \ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin(2x) \end{eqnarray}$ Man hat also Glück, daß $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ aus der Rechnung herausfällt. Und nun beachtet man: $\begin{eqnarray} \sin s = \sin t \ \ \Leftrightarrow \ \ s \equiv t \pmod{2 \pi} \ \ \ \text{oder} \ \ \ s \equiv \pi - t \pmod{2 \pi} \end{eqnarray}$

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