Green-Riemannsche Formel

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Green-Riemannsche Formel
Meine Frage:
Hallo, ich habe mich gerade mit Pfaffschen Formen, Kurvenintegralen und der Exaktheit von Pfaffschen Formen beschäfigt und eine Übungsaufgabe ist es nun, den "Satz von Green" zu beweisen:

Sei ein Kompaktum mit glattem Rand. Angenommen, ist wegzusammenhängend, also das Bild einer geschlossenen (stetig differenzierbaren) Kurve . Wir nehmen an, daß den Rand von A gegen den Uhrzeigersinn durchläuft, daß also A immer links von liegt. Sei ein - Vektorfeld. Zeigen Sie mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes, daß:

, wobei , also

.

Meine Ideen:
Wenn man den Gaußschen Integralsatz anwenden soll, brauche ich jetzt sicherlich irgendein Vektorfeld F...

Leider fehlt mir ansonsten ein Ansatz.

Hilfe wäre toll!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Green-Riemannsche Formel
Spontan würde ich jetzt sowas vermuten:





Wobei J hier irgendwie dafür sorgt, dass der Term ganz links entsteht - irgendeine orthogonale Matrix oder so vielleicht?

Dann weiter:



Wobei n der äußere Einheitsnormalenvektor sein soll..

Und jetzt ist das doch irgendwie das Gleiche wie (wegen gegen dem Uhrzeigersinn und weil alpha ja sozusagen den Rand parametrisiertsmile

(Kurvenintegral)


Und jetzt würde ich irgendwie meinen, dass der Tangentialvektor ist auf dem Rand und jetzt irgendwie zusammenhängt mit n--- weil die ja durch 90 Grad-Drehung auseinander hervorgehen.

Vielleicht verschwindet so das Minus dann wieder?!


Bitte helft mir. Dies sind nur meine groben Ideen, die hoffentlich nicht total falsch sind.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Green-Riemannsche Formel
Sei . Dann

Gilt dann nicht:




Und hier müsste man doch jetzt den Gauß'schen Integralsatz anwenden können?

,

wobei n der äußere Einheitsnormalenvektor sein soll.


Weiter komme ich aber nicht. unglücklich
Luis77 Auf diesen Beitrag antworten »

also dein ansatz ist meiner meinung nach (fast) richtig, machs mal so:







nun weiß ich zwar auch nicht mehr so genau weiter, würde aber vermuten:



außerdem gilt wohl , du drehst ja den tangentialvektor um 90 Grad und dann hast du den normalenvektor

also dann stehe ich bei




weiter weiß auch nich nicht.

vielleicht hilft dir jemand anders weiter??
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wegen des Minus bin ich mir irgendwie nicht sicher.

Ansonsten ist doch

und , oder?

Ich käme dann darauf, dass



Hm. verwirrt

Naja, jetzt warte ich mal, bis jemand hilft.
Ich muss wohl ein bisschen Geduld haben.


Edit: Achso, mit meine ich die Pfaffsche Form .
[Kurvenintegrale über Pfaffsche Formen sind ja gerade so definiert.]
Luis77 Auf diesen Beitrag antworten »

hab grad mal überlegt. WIESO eigentlich dieses Minus?

Der Rand wird gegen den Uhrzeigersinn durch die Kurve parametresiert, aber das bedeutet ja nicht, dass man ein Minus davor schreiben muss, würde ich sagen...

Es sagt ja niemand, dass der Rand positiv (im Uhrzeigersinn) parametrisiert ist, sodass man bei Anwendung von alpha zwangsläufig Minus schreiben muss....


verwirrt

Ohne das Minus kommts ja hin---

Oder widerspricht jemand Schlaueres?
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder widerspricht jemand?


Nö. Stimme allem zu (auch oben).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das find ich toll! Augenzwinkern


Zwei Fragen habe ich aber noch!

1.) Wieso steht das in der Aufgabenstellung mit dem "gegen den Uhrzeigersinn"?
Hat sich da der Fragesteller halt irgendeine Parametrisierung ausgesucht? Das Minus vor dem Integral, weil Alpha gegen den Uhrzeigersinn parametrisiert ist also Quatsch.

2.) Wiesoi entsteht der Einheitsnormalenvektor aus dem Tangentialvektor?
Klar, die Drehung ist mir klar. aber der Tangentialvektor ist doch nicht von der Länge 1, der Einheitsnoramalenvektor soll es doch aber sein.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1.) Wieso steht das in der Aufgabenstellung mit dem "gegen den Uhrzeigersinn"?
Hat sich da der Fragesteller halt irgendeine Parametrisierung ausgesucht? Das Minus vor dem Integral, weil Alpha gegen den Uhrzeigersinn parametrisiert ist also Quatsch.


Es ist vielmehr so, dass du ein Minus schreiben müsstest, wenn alpha im Uhrzeigersinn verlaufen würde. (Die Orientierung, d.h. der Umlaufsinn des Randes einer Teilmenge des IR^2 ist per Konvention linksrum, also so wie (cos(t), sin(t)) um den Kreis laufen).

Zitat:
2.) Wiesoi entsteht der Einheitsnormalenvektor aus dem Tangentialvektor?
Klar, die Drehung ist mir klar. aber der Tangentialvektor ist doch nicht von der Länge 1, der Einheitsnoramalenvektor soll es doch aber sein.


Das ist nicht der Einheitsnormalenvektor, sondern der Einheitsnormalenvektor mal dem "Oberflächenelement", d.h. da ist schon die Information über die Krümmung und Streckung der Kurve mit drin.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd

Das ist nicht der Einheitsnormalenvektor, sondern der Einheitsnormalenvektor mal dem "Oberflächenelement", d.h. da ist schon die Information über die Krümmung und Streckung der Kurve mit drin.


Das verstehe ich nicht.

Wo ist da das Oberflächenelement mit eingeflossen?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

In der Länge von . (Der Einheitsnormalenvektor sollte ja normalerweise schon die Länge 1 haben, oder? Dehsalb kann er das nicht sein.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal. Ich bin nämlich mal wieder schwer von Begriff, aber möchte es gerne verstehen:

An dieser Stelle:

steht das Oberflächenelement ja noch separat da.

Wo fließt es jetzt ein?

Entschuldigung, wenn ich nochmal frage!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Integranden ist doch jetzt n der äußere Einheitsnormalenvektor. Ist ja so beim Gaußschen Integralsatz.

Deswegen verstehe ich nicht, was da oben gemacht wurde mit dem Drehen.

So, wie ich das verstehe, soll da der äußere Einheitsnormalenvektor durch Drehen des Tangentialvektors hervorgehen.

Du sagst, das soll gar nicht der Einheitsnormalenvektor sein, sondern der Einheitsnormalenvektor mal dem Oberflächenelement. Das begreife ich einfach nicht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Der Einheitsnormalenvektor ist:



Oberflächenelement:
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!

Wie kann man das Oberflächenelement möglichst leicht berechnen?

Ich kenne nur den Weg über die Gramsche Determinante.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich kenne nur den Weg über die Gramsche Determinante.


Ich auch. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich dachte, daß es vielleicht einen anderen, "besseren" Weg gäbe.

Nochmal besten Dank, da habe ich wieder etwas gelernt!

Gott & Wink
Luis77 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Green-Riemannsche Formel
Übrigens kann man die Green-Riemannsche-Formel auch viel einfacher zeigen, wenn man folgende Umformulierung des Gaußschen Integralsatzes (mit Hilfe des Differentialformenkalküls) für den anwendet:

, wobei alle Vorgaben wie beim allgemeinen Stokeschen Integralsatz seien.

Dann folgt die Green-Riemannsche Formel sofort.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »