Green-Riemannsche Formel |
29.07.2011, 19:03 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Green-Riemannsche Formel Hallo, ich habe mich gerade mit Pfaffschen Formen, Kurvenintegralen und der Exaktheit von Pfaffschen Formen beschäfigt und eine Übungsaufgabe ist es nun, den "Satz von Green" zu beweisen: Sei ein Kompaktum mit glattem Rand. Angenommen, ist wegzusammenhängend, also das Bild einer geschlossenen (stetig differenzierbaren) Kurve . Wir nehmen an, daß den Rand von A gegen den Uhrzeigersinn durchläuft, daß also A immer links von liegt. Sei ein - Vektorfeld. Zeigen Sie mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes, daß: , wobei , also . Meine Ideen: Wenn man den Gaußschen Integralsatz anwenden soll, brauche ich jetzt sicherlich irgendein Vektorfeld F... Leider fehlt mir ansonsten ein Ansatz. Hilfe wäre toll! |
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29.07.2011, 20:02 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Green-Riemannsche Formel Spontan würde ich jetzt sowas vermuten: Wobei J hier irgendwie dafür sorgt, dass der Term ganz links entsteht - irgendeine orthogonale Matrix oder so vielleicht? Dann weiter: Wobei n der äußere Einheitsnormalenvektor sein soll.. Und jetzt ist das doch irgendwie das Gleiche wie (wegen gegen dem Uhrzeigersinn und weil alpha ja sozusagen den Rand parametrisiert (Kurvenintegral) Und jetzt würde ich irgendwie meinen, dass der Tangentialvektor ist auf dem Rand und jetzt irgendwie zusammenhängt mit n--- weil die ja durch 90 Grad-Drehung auseinander hervorgehen. Vielleicht verschwindet so das Minus dann wieder?! Bitte helft mir. Dies sind nur meine groben Ideen, die hoffentlich nicht total falsch sind. |
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30.07.2011, 12:06 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Green-Riemannsche Formel Sei . Dann Gilt dann nicht: Und hier müsste man doch jetzt den Gauß'schen Integralsatz anwenden können? , wobei n der äußere Einheitsnormalenvektor sein soll. Weiter komme ich aber nicht. |
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30.07.2011, 15:06 | Luis77 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also dein ansatz ist meiner meinung nach (fast) richtig, machs mal so: nun weiß ich zwar auch nicht mehr so genau weiter, würde aber vermuten: außerdem gilt wohl , du drehst ja den tangentialvektor um 90 Grad und dann hast du den normalenvektor also dann stehe ich bei weiter weiß auch nich nicht. vielleicht hilft dir jemand anders weiter?? |
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30.07.2011, 15:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wegen des Minus bin ich mir irgendwie nicht sicher. Ansonsten ist doch und , oder? Ich käme dann darauf, dass Hm. Naja, jetzt warte ich mal, bis jemand hilft. Ich muss wohl ein bisschen Geduld haben. Edit: Achso, mit meine ich die Pfaffsche Form . [Kurvenintegrale über Pfaffsche Formen sind ja gerade so definiert.] |
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30.07.2011, 16:02 | Luis77 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hab grad mal überlegt. WIESO eigentlich dieses Minus? Der Rand wird gegen den Uhrzeigersinn durch die Kurve parametresiert, aber das bedeutet ja nicht, dass man ein Minus davor schreiben muss, würde ich sagen... Es sagt ja niemand, dass der Rand positiv (im Uhrzeigersinn) parametrisiert ist, sodass man bei Anwendung von alpha zwangsläufig Minus schreiben muss.... Ohne das Minus kommts ja hin--- Oder widerspricht jemand Schlaueres? |
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30.07.2011, 17:32 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nö. Stimme allem zu (auch oben). |
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30.07.2011, 17:36 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das find ich toll! Zwei Fragen habe ich aber noch! 1.) Wieso steht das in der Aufgabenstellung mit dem "gegen den Uhrzeigersinn"? Hat sich da der Fragesteller halt irgendeine Parametrisierung ausgesucht? Das Minus vor dem Integral, weil Alpha gegen den Uhrzeigersinn parametrisiert ist also Quatsch. 2.) Wiesoi entsteht der Einheitsnormalenvektor aus dem Tangentialvektor? Klar, die Drehung ist mir klar. aber der Tangentialvektor ist doch nicht von der Länge 1, der Einheitsnoramalenvektor soll es doch aber sein. |
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30.07.2011, 18:29 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist vielmehr so, dass du ein Minus schreiben müsstest, wenn alpha im Uhrzeigersinn verlaufen würde. (Die Orientierung, d.h. der Umlaufsinn des Randes einer Teilmenge des IR^2 ist per Konvention linksrum, also so wie (cos(t), sin(t)) um den Kreis laufen).
Das ist nicht der Einheitsnormalenvektor, sondern der Einheitsnormalenvektor mal dem "Oberflächenelement", d.h. da ist schon die Information über die Krümmung und Streckung der Kurve mit drin. |
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30.07.2011, 18:38 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das verstehe ich nicht. Wo ist da das Oberflächenelement mit eingeflossen? |
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30.07.2011, 19:04 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Länge von . (Der Einheitsnormalenvektor sollte ja normalerweise schon die Länge 1 haben, oder? Dehsalb kann er das nicht sein.) |
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30.07.2011, 19:11 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also nochmal. Ich bin nämlich mal wieder schwer von Begriff, aber möchte es gerne verstehen: An dieser Stelle: steht das Oberflächenelement ja noch separat da. Wo fließt es jetzt ein? Entschuldigung, wenn ich nochmal frage! |
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30.07.2011, 20:40 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In dem Integranden ist doch jetzt n der äußere Einheitsnormalenvektor. Ist ja so beim Gaußschen Integralsatz. Deswegen verstehe ich nicht, was da oben gemacht wurde mit dem Drehen. So, wie ich das verstehe, soll da der äußere Einheitsnormalenvektor durch Drehen des Tangentialvektors hervorgehen. Du sagst, das soll gar nicht der Einheitsnormalenvektor sein, sondern der Einheitsnormalenvektor mal dem Oberflächenelement. Das begreife ich einfach nicht. |
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30.07.2011, 20:44 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Einheitsnormalenvektor ist: Oberflächenelement: |
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30.07.2011, 22:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke!! Wie kann man das Oberflächenelement möglichst leicht berechnen? Ich kenne nur den Weg über die Gramsche Determinante. |
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30.07.2011, 22:37 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich auch. |
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30.07.2011, 22:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich dachte, daß es vielleicht einen anderen, "besseren" Weg gäbe. Nochmal besten Dank, da habe ich wieder etwas gelernt! & |
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06.09.2011, 19:55 | Luis77 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Green-Riemannsche Formel Übrigens kann man die Green-Riemannsche-Formel auch viel einfacher zeigen, wenn man folgende Umformulierung des Gaußschen Integralsatzes (mit Hilfe des Differentialformenkalküls) für den anwendet: , wobei alle Vorgaben wie beim allgemeinen Stokeschen Integralsatz seien. Dann folgt die Green-Riemannsche Formel sofort. |
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