Banachscher Fixpunktsatz

29.07.2011, 21:01

schnaki

Banachscher Fixpunktsatz

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion F:R->R mit $\begin{eqnarray*} f(x)= 1/31 (x^{3}+2x^{2}-9x-18) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass f auf D:=[-2,0]genau einen Fixpunkt hat. Insbesondere ist zz, dass die Lipschitzkonstante 1/3 ist.

Meine Ideen:
Okay, also muss ich die drei Eigenschaften des B. Fixpkt.satzes abarbeiten
Die vollständigkeit von D sowie die Selbsabbildungseigenschaft bereiten mir keine Probleme.

Zur Kontraktionskonstante habe ich mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|= |\frac{1}{31}(x^{3} +2x^{2} -9x-18 ) -\frac{1}{31}(y^{3} +2y^{2} -9y-18 ) |=|\frac{1}{31}(x^{3}- y^{3} +2(x^{2}-y^{2}) -9(x+y) ) |= |\frac{1}{31}|x^{3}- y^{3} +2(x^{2}-y^{2}) -9(x+y)| \end{eqnarray*}$

Dann folgt mit dem Mittelwertsatz

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{31} |3z^{2}+2z-9| |x-y| \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich momentan nicht weiter.
wie soll ich denn auf 1/3 kommen??

vielen Dank schonmal für eure hilfe

29.07.2011, 21:27

leithian

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Hey,

es gilt nach Zwischenwertsatz $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(y)} {x-y} ~ =~ f' ( \eta ) , \eta \in [-2,0] \end{eqnarray*}$ damit hat man (beim Übergang zu Suprema)

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq sup_{x \in [-2,0]}|f'(x)| |x-y| \end{eqnarray*}$ .

Nun würde ich mal das sup der Ablteitung bestimmen.

mfg

29.07.2011, 22:08

Jeremy124

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und da $\begin{eqnarray*} |f'(x)| \in C[-2,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [-2,0] \end{eqnarray*}$ kompakt ist, kann man auch gleich
das Maximum statt dem Supremum nehmen, falls es einem besser gefällt Freude

29.07.2011, 22:17

Jeremy124

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Geb mal bei Wolframalpha

code:
1:	max \|1/32* ( 3x²+2x-9)\| in [-2,0]

ein, dann bekommt man den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{7}{24} < \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ raus.

29.07.2011, 22:30

leithian

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Erstmal ist die Konstante 31 und nicht 32 und wenn man dann noch richtig ableitet bekommt man mit

max |1/31* ( 3x²+4x-9)| in [-2,0]

tatsächlich 1/3 raus.

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