Mengen"beweis"

30.07.2011, 05:03

Ferienlerner

Mengen"beweis"

Geht um folgende Aussage, die "bewiesen" werden soll:

Seien A, B Mengen:

$\begin{eqnarray*} A \cap (A \cup B) = A \end{eqnarray*}$

"=>" ist einfach.

"<=" möchte ich zeigen. In meiner Musterlösung wird das meiner Meinung nach viel zu umständlich gemacht (5 Zeilen, mit Distributivgesetzen rumkämpfen etc.). Daher meine Frage, ob mein Weg so nicht auch formal richtig wäre:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ __________Aussage A
Dann gilt auch in jedem Fall $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ __________Aussage B

So, kann ich jetzt nicht einfach Zeile 1 und 2 verknüpfen? Wenn Aussage A gilt und aus Aussage A folgt Aussage B, dann ist das doch äquivalent zu Aussage "A und B". Mit anderen Worten: Es gilt: $\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet, dass: $\begin{eqnarray*} x \in A \cap (A \cup B) \end{eqnarray*}$ . Fertig. Oder?

30.07.2011, 11:51

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengen"beweis"

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A \cap (A \cup B) = A \end{eqnarray*}$

"=>" ist einfach.

Was bitte schön ist denn die Richtung "=>"? Du sollst doch die Gleichheit Zeigen und keine Äquivalenz... Lehrer

Zitat:

"<=" möchte ich zeigen. In meiner Musterlösung wird das meiner Meinung nach viel zu umständlich gemacht (5 Zeilen, mit Distributivgesetzen rumkämpfen etc.). Daher meine Frage, ob mein Weg so nicht auch formal richtig wäre:

Mit diesen 5 Zeilen kannst du aber bestimmt die komplette Gleichheit erschlagen und musst nicht zwei Inklusionen zeigen, oder?
Ich geh mal davon aus, dass der Beweis in etwa so aussieht:
$\begin{eqnarray*} A\cap(A\cup B)=A\cap A\cup A\cap B = A\cup \underbrace{A\cap B}_{\subseteq A}=A \end{eqnarray*}$

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ __________Aussage A
Dann gilt auch in jedem Fall $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ __________Aussage B

Um das festzuhalten: Hier steht Aussage A => Aussage B. Dies ist zweifelsohne korrekt.

Zitat:

So, kann ich jetzt nicht einfach Zeile 1 und 2 verknüpfen? Wenn Aussage A gilt und aus Aussage A folgt Aussage B, dann ist das doch äquivalent zu Aussage "A und B". Mit anderen Worten: Es gilt: $\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet, dass: $\begin{eqnarray*} x \in A \cap (A \cup B) \end{eqnarray*}$ . Fertig. Oder?

Ja in diesem Fall kannst du so argumentieren.
Aber Achtung: Es gilt nicht, dass $\begin{eqnarray*} (a\Rightarrow b)\Leftrightarrow (a\land b) \end{eqnarray*}$ für zwei Aussagen a,b.
Denn es gilt ja auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} (a\Rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg b \Rightarrow \neg a) \end{eqnarray*}$ . Das hieße nämlich, wenn a und b beide falsch sind, gilt die negierte Implikation. Aber wenn beide falsch sind, kann das Und aus beiden nicht wahr werden, was es aber wegen der angenommenen Äquivalenz sein müsste.

Dein Beweis für die Inklusion könnte so aussehen

$\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$
Es sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x\in (A\cup B) \end{eqnarray*}$
und somit ist $\begin{eqnarray*} x\in A \land x\in (A\cup B) \end{eqnarray*}$
die ist nach Definition $\begin{eqnarray*} x\in(A\cap (A\cup B)) \end{eqnarray*}$

30.07.2011, 19:53

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

eine Frage an Chrizke:

Zitat:

Original von chrizke
...Denn es gilt ja auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} (a\Rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg b \Rightarrow \neg a) \end{eqnarray*}$ .

einverstanden gilt sicher für wahre Aussagen.

Es regnet $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Strasse ist naß $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ die Strasse ist trocken $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es regnet nicht

Zitat:

...wenn a und b beide falsch sind, gilt die negierte Implikation....

In meiner Sicht sind nun a und b Logische Variable. Dann müsste Obiges wiefolgt heissen:

$\begin{eqnarray*} (a\rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg b \rightarrow \neg a) \end{eqnarray*}$ .

statt Inklusion oder Implikation dann Subjunktion " $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ " in den Klammern. Was meinst du? oder sonst jemand?

30.07.2011, 20:25

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ja diese Pfeile wären besser/richtiger gewesen.
Aber erstens wollte ich jetzt keine neuen Zeichen einführen, von denen ich nicht weiß, ob sie Ferienlerner bekannt sind, zudem habe ich einfach stillschweigend
a = Wahrheitswert von Ferienlerners Aussage A
b = Wahrheitswert von Ferienlerners Aussage B

gesetzt smile

30.07.2011, 20:49

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok! damit kann ich leben.

Hintergrund: ich suche Material und Gebräuche in Logik und Methodologie seit den Anfängen bis heute, da ich darüber mal einen Artikel schreiben will. smile

30.07.2011, 21:35

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man es sogar ganz genau nehmen will, hätte wahrscheinlich auch noch $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ersetzt werden müssen.

30.07.2011, 22:12

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chrizke
Wenn man es sogar ganz genau nehmen will, hätte wahrscheinlich auch noch $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ersetzt werden müssen.

Nein, gerade das nicht!

Es wurde behauptet,

$\begin{eqnarray*} (a\rightarrow b)\Leftrightarrow (\neg b \rightarrow \neg a) \end{eqnarray*}$ .

ist wahr.

Die Wahrheit dieser Aussage beweist man, indem man nachweist,dass

$\begin{eqnarray*} (a\rightarrow b)\leftrightarrow (\neg b \rightarrow \neg a) \end{eqnarray*}$ .

eine Wahrform ist, d.h. für alle Belegungen wahr ist. (was auch stimmt )

der " $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ " ist wie " $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ " ein Verknüpfungssymbol und heisst Bijunktion.

" $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "

sind keine Verknüpfungssymbole ! (obwohl oft so verwendet )
---------------------------------------------------------------------------------

Der leichte Wirrwarr in den Schreibfiguren und den Interpretationen ist gerade mein Motiv darüber mal "etwas zu schreiben".

z.B. verwendet der BRONSTEIN die Doppelpfeile ( mit Doppelstrich ) als Verknüpfung, die Äquivalenz aber als Gleichheit ( = )

Gruss Dopap

31.07.2011, 05:03

Ferienlerner

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengen"beweis"

Zitat:

Original von chrizke

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A \cap (A \cup B) = A \end{eqnarray*}$

"=>" ist einfach.

Was bitte schön ist denn die Richtung "=>"? Du sollst doch die Gleichheit Zeigen und keine Äquivalenz... Lehrer

Zwei Mengen M, N sind genau dann gleich, wenn $\begin{eqnarray*} \forall x: (x \in M \Leftrightarrow x \in N) \end{eqnarray*}$ . Insofern muss (oder besser: kann) man eben doch eine Äquivalenz zeigen.

Zitat:

Original von chrizke

Zitat:

Leider sieht's nicht so aus, sondern es werden schon 2 Implikationsrichtungen gezeigt. Obwohl dein Beweis ehrlich gesagt viel schöner ist. smile

Zitat:

Original von chrizke

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ __________Aussage A
Dann gilt auch in jedem Fall $\begin{eqnarray*} x \in (A \cup B) \end{eqnarray*}$ __________Aussage B

Um das festzuhalten: Hier steht Aussage A => Aussage B. Dies ist zweifelsohne korrekt.

Zitat:

Das ist mir klar. Was ich meinte war auch eher: $\begin{eqnarray*} A \land (A \rightarrow B) \leftrightarrow A \land B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dein Beweis für die Inklusion könnte so aussehen

$\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$
Es sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x\in (A\cup B) \end{eqnarray*}$
und somit ist $\begin{eqnarray*} x\in A \land x\in (A\cup B) \end{eqnarray*}$
die ist nach Definition $\begin{eqnarray*} x\in(A\cap (A\cup B)) \end{eqnarray*}$

Exakt das meinte ich ja in meinem Eingangspost. Wenn "A" gilt UND aus "A folgt B", dann gilt "A und B". Und das ist eben nach Definition das, was zu zeigen war. smile

Neue Frage »

Antworten »

Mengen"beweis"

Verwandte Themen