Verständnis Basen von C

30.07.2011, 11:42

WaechterT

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Verständnis Basen von C

Meine Frage:
Hallo Matheboard,

ich bereite mich gerade für eine Klausur vor und stehe vor einer auf den ersten Blick einfachen Frage, die mich daran zweifeln lässt, ob ich die Sache mit den Basen richtig verstanden habe.

Bestimme die folgenden Dimensionen indem du eine Basis angibst:

a) $\begin{eqnarray*} \dim_{ \mathbb C } \mathbb C \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \dim_{ \mathbb R } \mathbb C \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \dim_{ \mathbb R } ( \mathbb C \times \mathbb R \times \mathbb C ) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \dim_{ \mathbb R } ( \; \mbox{Abb}(\{ 1, 2, 3 \}, \mathbb C ) \; ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a)
Eigentlich müsste die Dimension doch 1 sein, oder?
Aber die kleinste Basis die mir einfällt wäre $\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\i \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nur einen Unterraum von C beschreibt...

b)
Die Dimension ist 2, eine Basis wäre $\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

c)
Da stehe ich mit einem großen Fragezeichen davor weil ich mir nicht ganz sicher bin, wie der Raum aussehen soll. Ich tendiere zu zu 5, also ( (1,0,0,0,0), (0,i,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,i) )

d)
Auch eine interessante Frage. Ich würde sagen 1, denn:
Seien $\begin{eqnarray*} f \in {\mbox{Abb}(\{1,2,3\}, \mathbb C} ) \end{eqnarray*}$ die Abbildungen, dann ist die Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \mbox{re} ( f ) \\\mbox{im} (f) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hm. So ausgeschrieben sieht das falsch aus, da es ja gar nicht gesagt ist, ob die f's überhaupt einen Raum ergeben.

30.07.2011, 12:00

Elvis

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a) dim=1, Basis 1, c=c*1 für jede komplexe Zahl c
b) stimmt
c) ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$
d) Da denken wir noch ein bißchen darüber nach.
Zeige 1. Ist K ein Körper, so ist $\begin{eqnarray*} K^M=Abb(M,K) \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum der Dimension |M|.
Zeige 2. Jeder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ Vektorraum der Dimension n ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vektorraum der Dimension 2n.

30.07.2011, 12:58

Mulder

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Vielleicht verstehe ich ja auch nur die Notation nicht, aber warum soll b) stimmen? Ich sehe da zwei Elemente allenfalls aus dem C² (oder sollen das irgendwie Tupel sein, oder was?), die allerdings beide reell sind, wie soll man so C erzeugen, wenn der Skalarkörper R ist? Mit Dimension 2 bin ich ja einverstanden, aber diese angebliche Basis kapiere ich nicht.

Man möge mich bitte erleuchten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2011, 13:13

WaechterT

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Mulder:
Ich denke, weil C isomorph zu R^2 ist.
Einerseits kannst du keinen imaginären Anteil in der R-Basis von C verlangen, weil i nicht in R ist, andererseits ist der Imaginärteil einer komplexen Zahl "nur" ein reeller Koeffizient von i.

Aus dem selben Grund ist meine Vorstellung von c) eigentlich richtig gewesen, nur dass die Basis dann einfach $\begin{eqnarray*} (e_1, ..., e_5) \end{eqnarray*}$ sein muss.

Elvis:
über d) muss ich glaub ich noch etwas nachdenken (wobei 2. klar ist)

30.07.2011, 13:33

Elvis

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..

30.07.2011, 13:33

Elvis

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b) stimmt, wenn man diese Vektoren als 1 und i interpretiert und entsprechend geeignet damit rechnet. Der Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb C\cong \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus der Definition $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Tipp zu d) $\begin{eqnarray*} Abb(M,K)=<\chi_a|a\in M>, \chi_a(x):=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=a, \chi_a(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq a \end{eqnarray*}$ mit den punktweisen Vektorraumoperationen $\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x), (\alpha f)(x):=\alpha \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

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30.07.2011, 13:40

Elvis

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Zitat:

Original von WaechterT
Einerseits kannst du keinen imaginären Anteil in der R-Basis von C verlangen, weil i nicht in R ist, ...

Das ist Unsinn, selbstverständlich liegen Basisvektoren im Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=\mathbb C \end{eqnarray*}$ und nicht im Körper $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

30.07.2011, 13:46

Mulder

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Ach so, ihr argumentiert über Isomorphien... okay. Ich hätte einfach als Basis 1 und i direkt hingeschrieben und fertig. Daher war ich da etwas verwirrt.

Danke für die Aufklärung. Wink

Wink

30.07.2011, 14:15

Elvis

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Gern geschehen. Du hast natürlich recht, die Basis ist 1 und i.

30.07.2011, 14:15

WaechterT

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Bei den punktweisen Operationen war ich schon angelangt und bin einfach nicht draufgekommen, wie ich jetzt eine Basis dazu konstruiere - aber eigentlich hast du sie ja schon hingeschrieben als $\begin{eqnarray*} \{ \chi_a: a \in M \} \end{eqnarray*}$ , die du dir so als Einsen konstruierst.

Also in meiner Frage dann als $\begin{eqnarray*} 1_{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dim_{\mathbb R} < 1_{\mathbb C} > = 2 \end{eqnarray*}$ , und da ich insgesamt 3 davon habe ist die Dimension der gesamten Abbildung 6.

Oder habe ich dich falsch verstanden?

Zu Basen im Vektorraum und nicht im Körper: Natürlich, ich habe da wohl die Basisvektoren und die Koeffizienten durcheinandergebracht.

30.07.2011, 14:20

WaechterT

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Wobei natürlich aber 1 aus C identifizierbar ist mit 1 aus R und daher der der Spann dennoch auch in R die Dimension 1 hat... ich glaube ich habe mich da irgendwo gedanklich festgefahren...

30.07.2011, 14:20

Elvis

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1. $\begin{eqnarray*} dim_K(Abb(M,K))=|M| \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} Abb(M,K)=<\chi_a|a\in M>, \chi_a(x):=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=a, \chi_a(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq a \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: Du hast noch nicht alles verstanden. Big Laugh

Big Laugh

Sieh's doch mal so: $\begin{eqnarray*} f(1)=\alpha, f(2)=\beta, f(3)=\gamma;\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb C\Rightarrow f(x)=\alpha\chi_1(x)+\beta\chi_2(x)+\gamma\chi_3(x) \end{eqnarray*}$

30.07.2011, 14:31

WaechterT

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Das Gefühl habe ich auch fast... ich gehe jetzt mal was kochen, vielleicht fällt mir währenddessen ein, warum ich von der Definition $\begin{eqnarray*} \chi_a(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für a=x, 0 sonst auf die Dimension schließen kann, ich glaube da liegt mein Denkfehler.

Melde mich später wieder - danke erstmal smile

smile

30.07.2011, 14:43

Elvis

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3. Für den Übergang vom komplexen zum reellen Vektorraum der Abbildungen von M nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ empfehle ich die Basis $\begin{eqnarray*} \{\chi_{a1}|a\in M\}\cup\{\chi_{ai}|a\in M\},\chi_{a1}(x):=1 (x=a), \chi_{a1}(x)=0 (x\neq a),\chi_{ai}(x):=i (x=a), \chi_{ai}(x)=0 (x\neq a) \end{eqnarray*}$

Anmerkung: mit der Kroneckerfunktion gilt $\begin{eqnarray*} \chi_{a1}=\delta_{ax},\chi_{ai}=i\cdot\delta_{ax} \end{eqnarray*}$ oder noch kürzer $\begin{eqnarray*} \chi_{ay}=y\cdot \delta_{ax}, y\in\{1,i\} \end{eqnarray*}$

30.07.2011, 16:18

WaechterT

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Ha! DAS ist es! Jetzt ist es klar!
Danke!

30.07.2011, 17:20

Elvis

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Gerne. Dieser Vektorraum der Abbildungen von einer Menge in einen Körper ist ein klassisches Standardbeispiel, das muss man kennen. Lehrer

Lehrer

30.07.2011, 17:24

WaechterT

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Ja, mit Abbildungen oder Matrizen als Basen habe ich immer wieder Probleme... naja, da werde ich mich in der vorlesungsfreien Zeit etwas eingehender damit beschäftigen müssen.

31.07.2011, 11:41

Elvis

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Das lohnt sich bestimmt. Bedenke, dass man den Standardvektorraum $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} K^n:=K^{\{1,...,n\}}=Abb(\{1,...,n\},K) \end{eqnarray*}$

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