Arzela - Ascoli

30.07.2011, 11:50

Felix

Arzela - Ascoli

Ich hab verschiedenste Versionen des Arzela-Ascoli Theorems gesehen und viele machen mMn seltsame Voraussetzungen. z.B. :

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein kompakter topolpgischer Raum und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein metrischer Vektorraum(!). (+ gleichgradig stetig, punktweise relativ kompakt)

Kann man die Voraussetzung mit dem VR nicht weglassen???

Folgender Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ findet man $\begin{eqnarray*} V_x \end{eqnarray*}$ so dass auf diesen Umgebungen gleichgradige Stetigkeit (bez. x) mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ herrscht. Man findet dann eine endliche Teilüberdeckung und dazugehörige Punkte $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ . Nun findet man, wegen punktweise relativ kompakt endlich viele Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{i,k} \end{eqnarray*}$ , sodass diese für alle $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Überdeckung bilden (also für alle $\begin{eqnarray*} f,i \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} d(f(x_i),f_{i,k}(x_i)) < \epsilon \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ).

Diese Familie ist dann wegen der Dreicksungleichung und der gleichgradigen Stetigkeit eine $\begin{eqnarray*} 3 \epsilon \end{eqnarray*}$ - Überdeckung der Funktionenfamilie.

Umkehrung: Aus relativ kompakt folgt punktweise relativ kompakt, die gleichgradige Stetigkeit folgt auch wie üblich, in dem man eine endliche $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Überdeckung der Funktionenfamilie wählt und dann Dreiecksungleichung anwendet.

Ist ein Fehler in dieser Argumentation ?

30.07.2011, 16:58

gonnabphd

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Zitat:

Ist ein Fehler in dieser Argumentation ?

Ich denke nicht, nein. Die Aussage ist jedenfalls für metrisches Y richtig.

Es gibt wirklich verschiedenste Versionen dieses Satzes mit variierenden Voraussetzungen (z.B. kann man noch Kompaktheit durch lokale Kompaktheit ersetzen).

30.07.2011, 17:43

Felix

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Zitat:

Ich denke nicht, nein. Die Aussage ist jedenfalls für metrisches Y richtig.

Danke, dass du darüber geschaut hast, man selbst übersieht schnell mal irgendeine Kleinigkeit .

Vielleicht kannst du dir ja auch folgendes Argument anschauen:

Es geht um eine Version des Arzela-Ascoli mit lokal glm. Konvergenz.Man hat also eine Teilmenge von Funktionen in $\begin{eqnarray*} C(\mathbb C, Y) \end{eqnarray*}$ mit einer Metrik, die lokal glm. Konvergenz erzeugt, wobei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ wieder metrischer Raum ist. Ansonsten sind die Voraussetzungen gleich.

Nun betrachte ich eine aufsteigende Folge von kompakten Mengen $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ deren Vereinigung ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist (z.B. Kreisscheiben). Die Einschränkung der Funktionenfamilie auf eine dieser Mengen ist relativkompakt. Zu einer Folge $\begin{eqnarray*} (f_i)_{i \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und jedem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , gibt es also eine Konvergente Teilfolge. Nun bilde ich sukzessive Teilfolgen von Teilfolgen (so das ich im nten Schritt eine TF habe die auf allen $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j \leq n \end{eqnarray*}$ konvergiert). Dann ist die Diagonalfolge dieser Folge von TF eine lokal gleichmäßig konvergente TF von der ursprünglichen Folge. Die Funktionenfamilie ist also in $\begin{eqnarray*} C(\mathbb C, Y) \end{eqnarray*}$ relativkompakt.

Sollte eigentlich so stimmen oder ?

30.07.2011, 18:22

gonnabphd

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Jo. Die Diagonalfolge konvergiert dann lokal gleichmässig und deshalb im Funktionenraum.

Dürfte passen.

30.07.2011, 18:34

Felix

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Passt, danke !

30.07.2011, 19:05

gonnabphd

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Zitat: