ONB bestimmen

30.07.2011, 16:02	guest001	Auf diesen Beitrag antworten »
ONB bestimmen Hi, bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Bestimmen sie die Orthonormalbasis dieser Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & -i & -i \\ i & 5 & -1 \\ i & -1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(A-xE)=(x-3)(x-6)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{1} =\begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{2} =\begin{pmatrix} -i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{3} =\begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mithilfe des schmid´schen orthonormalisierungs verfahren bi ich auf das hier gekommen wobei ich v1 und v2 nur normaliseiert habe da, wenn ich es richtig verstanden habe, bei vektoren mit alg. vielfachheit 1 nur normalisieren braucht und dann jeden Eigenraum seperat betrachtet für das schmidberfahren. oder??? $\begin{eqnarray} B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{3} } \begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{a}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} -2i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ wäre dankbar wenn das mal schnell einer nachrechnen könnte, das char. polynom stimmt, war gegeben
30.07.2011, 16:28	guest001	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast vergessen, meine Eigenräume sind: $\begin{eqnarray} Eig(A,3)=lin\left\{ v_{1} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(A,6)=lin\left\{ v_{2}, v_{3} \right\} \end{eqnarray}$
30.07.2011, 18:12	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ! Also deine Eigenvektoren sind richtig bzw. habe ich dasselbe heraus. Außerdem ist A eine Normale Matrix, so sind die Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. Ist somit vollkommen richtig wie du vorgehst, da deine Matrix hermitesch ist und somit Normal. Ich habe bei Gram Schmidt heraus : $\begin{eqnarray} <br /> B= \left\{ \frac{1}{\sqrt{3} }\cdot \begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} -i \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}<br /> \end{eqnarray}$ Du kannst dich aber ganz leicht selbst kontrollieren, da ja das Skalarprodukt bzgl. Orthogonaler Vektoren Null sein muss. Gruß
30.07.2011, 19:50	guest001	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, komisch, beim letzten komm ich jetzt auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -i \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so bin ich vorgegenagen: $\begin{eqnarray} b_{3}=\frac{v_{3}-\left(v_{2N} a_{3} \right)v_{2N} }{\| v_{3}-\left(v_{2N} a_{3} \right)v_{2N} \| } \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} v_{2N}=\frac{v_{2}}{\| v_{2} \| } <br /> \end{eqnarray}$ was mach ich den blos falsch

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