Logistisches Wachstum Differentialgleichungen |
| 30.07.2011, 22:27 | rukkebrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Logistisches Wachstum Differentialgleichungen Hallo Es geht um logistisches Wachstum ausgedrückt durch DGL. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Eine logistisch wachsende Population werde durch die Differentialgleichung x = 0,02*(10-x)*x beschrieben (Zeiteinheit = 1 Jahr). Nach welcher Zeit hat sie 90% ihrer maximalen Größe erreicht, wenn ihre Anfangsgröße Xo=2 ist? In der Aufgabenstellung steht außerdem beim ersten x noch ein Punkt drüber, den ich leider nicht schreiben kann (bedeutet ja in der Physik Geschwindigkeit, oder?) Meine Ideen: Mein Problem ist, dass unser Skript lediglich folgende Formel enthält und keine weitere Informationen darüber (auch keine Beispiele): x=c*(K-x)*x (erstes x wieder mit Punkt drüber) K ist hierbei die Kapazität der Population und c eine Konstante >0. Nun meine Frage, wie soll ich das lösen? Soll ich da einfach den Startwert Xo einsetzen? Eigentlich ist ja der Sinn einer DGL eine Funktion zu finden soweit ich das verstanden habe. Habe DGLs in der Schule damals nicht gehabt und brauche sie jetzt aber im Studium. Würde mich über ausführliche Antworten mit Lösungsansatz/-weg freuen, danke. |
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| 30.07.2011, 22:42 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Logistisches Wachstum Differentialgleichungen
etwas so? Der Punkt bedeutet die zeitliche Ableitung. wir haben also das Anfangswertproblem mit x(0)=2 und c=0.02 und K=10 diese Differentialgleichung ist nicht ganz einfach, aber es gibt vorgefertigte Lösungen, bei der (denen ) noch ein offener Parameter durch Verwendung von X(0)=2 zu bestimmen ist. Was sagt das Buch über Funktionsvorschriften, die die DGL erfüllen? |
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| 31.07.2011, 07:55 | rukkebrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort. Also in einem Mathebuch (nicht im Skript) habe ich folgende Lösung für die DGL gefunden: x = 1/ (1+ (e^(-c*K*t)) *(K/Xo - 1)) Ist das die richtige Lösung? Setze ich da jetzt einfach alle gegebenen Werte ein? Also für K=10 , X(0)=2 --> t=0 und c=0.02 ? Wenn ich da jetzt alle Werte einsetzen würde, bekomme ich ja wenn ich das berechne und nicht nur einsetze einen Wert für x heraus. Was sagt mir dieser Wert und wie bekomme ich jetzt heraus wann die Population 90% ihrer Größe erreicht hat (muss ich für t anstatt 0 vielleicht 0.9 oben einsetzen)? Viele Fragen, sorry. |
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| 31.07.2011, 08:03 | rukkebrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinte natürlich folgende Lösung (hab mich oben verschrieben: x = K*[1/ (1+ (e^(-c*K*t))*(K/Xo - 1))] |
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| 01.08.2011, 02:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Differentialgleichung sagt aus, dass die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zu zwei Größen ist, nämlich zum momentanen Bestand x(t) und dem Sättigungsmanko K - x(t). Somit stellt K eine obere Grenze des Wachstums dar, darüber hinaus kann der Bestand nicht anwachsen. Die Lösung dieser Differentialgleichung geschieht mittels Trennung der Variablen und ist eine logistische Wachstumsfunktion. Dies wurde bereits im Board bei logistisches Wachstum beschrieben. Weitere Zusammenhänge sind auch anderen bereits hier im Board veröffentlichten Beiträgen zu entnehmen. mY+ |
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