Implizite Funktionen

31.07.2011, 08:51

ChronoTrigger

Implizite Funktionen

Hallo,

ich habe noch Probleme beim Satz über implizite Funktionen und möchte deshalb dieses Beispiel durchrechnen:

Zitat:

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^4 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(w,x,y,z):=\begin{pmatrix} x^2y^3+cos(\pi z) \\ sin(\frac\pi 2 w)z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
1) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} F(1,1,-1,0) \end{eqnarray*}$
2) Zeigen Sie, dass es Umgebungen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ sowie eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g: U \to V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(w,x)=(g_1(w,x),g_2(w,x))^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(1,1)=(-1,0) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} (w,x,g_1(w,x),g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (w,x) \in U \end{eqnarray*}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist.
3) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} Dg(1,1) \end{eqnarray*}$
4) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} D_{xw}g_{1}(1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{xw}g_2(1,1) \end{eqnarray*}$
Hinweis: Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial w} (\frac{\partial}{\partial x} F(w,x,g_1(w,x),g_2(w,x))=0 \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich gekommen:

1) $\begin{eqnarray*} F(1,1,-1,0)=\begin{pmatrix} 1^2 \cdot (-1)^3+cos(\pi \cdot 0) \\ sin(\frac \pi 2 \cdot 1) \cdot 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) Hier bestimme ich zunächst die Jacobi-Matrix:

$\begin{eqnarray*} DF(w,x,y,z)=\begin{pmatrix} 0 & 2xy^3 & 3x^2y^2 & -\pi sin(\pi z)\\ \frac \pi 2 cos(\frac \pi 2 w) z & 0 & 0 & sin(\frac \pi 2 w) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier sind alle partiellen Ableitungen stetig als Verkettung stetiger Funktionen, und damit ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar.

Dann ist $\begin{eqnarray*} DF(1,1,-1,0)=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun richtig verstanden habe, muss ich die Teilmatrix nehmen, die die Variablen "repräsentiert", nach denen ich auflösen möchte. In meinem Fall wäre das dann

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A ist invertierbar, da $\begin{eqnarray*} det(A)=3 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Damit wären dann alle Vor. für den Satz über implizite Funktionen erfüllt, und damit folgt dann Teil 2) der Aufgabe, falls ich es richtig verstanden habe.

Teil 3) ist doch dann auch durch den Satz über implizite Funktion gegeben, oder?

$\begin{eqnarray*} Dg(1,1)=-A^{-1} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} -\frac13 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & \frac23 \\0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei Teil 4) habe ich nun allerdings keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann. Dem Hinweis zufolge, muss ich nun zunächst die partielle Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(w,x,g_1(w,x),g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$ nach x, und danach nach w betrachten.
Leider habe ich noch nicht verstanden, wie ich das machen kann.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich Teil 4) lösen kann, und ob meine bisherigen Ansätze in Ordnung sind?

danke schonmal im voraus.

31.07.2011, 14:15

Cel

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Hallo!

Deinen bisherigen Ausführungen kann ich zustimmen, ich habe jedenfalls keinen Rechenfehler gefunden, das Vorgehen ist richtig.

So, zu der letzten Aufgabe.

Bilde einmal $\begin{eqnarray*} F(w,x,g_1(w,x), g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$ . Also einfach einsetzen. Da kommt dann ein Vektor heraus. Leite diesen (komponentenweise) nach x und dann nach w ab. Die Kettenregel zieht hier. Und wie durch Zauberhand kommen dabei die gewünschten Ableitungen heraus, nach denen musst du dann nur noch auflösen.

31.07.2011, 16:36

ChronoTrigger

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danke für die antwort.

Dann versuche ich das mal:

Für die erste Komponente:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial w}(\frac{\partial}{\partial x}F(w,x,g_1(w,x),g_2(w,x)) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\partial}{\partial w}(\frac{\partial F_1}{\partial w} + \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_1}{\partial y} \cdot D_xg_1 + \frac{\partial F_1}{\partial z} \cdot D_x g_2 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\partial^2 F_1}{\partial w \partial w} + \frac{\partial^2 F_1}{\partial x \partial w} +\frac{\partial^2 F_1}{\partial x \partial y} \cdot D_wg_1 + \frac{\partial^2 F_1}{\partial x \partial z} \cdot D_w g_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings ist hier nirgends $\begin{eqnarray*} D_{xw}g_1 \end{eqnarray*}$ drin, weshalb ich denke, dass ich hier irgendwas falsch gemacht habe.

31.07.2011, 17:45

Cel

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Huch, was machst du denn da? Ich muss ja ganz ehrlich sagen, dass ich mit konkreten Gleichungen besser klar komme, machen wir das lieber konkret, ja? Augenzwinkern

Falls dann ganz zum Schluss noch mal Bedarf da ist, das allgemein zu machen, schauen wir noch mal, gut?

Also, die erste Komponente von $\begin{eqnarray*} F(w,x,g_1(w,x), g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} x^2 g_1(w,x)^3 + \cos(\pi g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$ .

Leite das jetzt mal zuerst nach x und dann nach w ab. Und dann kannst du einsetzen.

31.07.2011, 17:59

ChronoTrigger

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ach, so ist das gemeint smile

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} x^2 g_1(w,x)^3 + \cos(\pi g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2x g_1(w,x)^3+3x^2 g_1(w,x)^2 \cdot D_x g_1(w,x) - sin(\pi g_2(w,x)) \cdot D_x g_2(w,x) \end{eqnarray*}$

Wenn das so richtig ist, versuche ich mich an der Ableitung nach w.

Damit ich das nun richtig verstehe:

$\begin{eqnarray*} D_x g_1(w,x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_x g_2(w,x) \end{eqnarray*}$ sind doch dann die entsprechenden Einträge der Matrix, die unter Teil c) berechnet wurden, oder?

Also $\begin{eqnarray*} D_x g_1(w,x)=\frac23 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_x g_2(w,x)=0 \end{eqnarray*}$

31.07.2011, 18:02

Cel

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Ableitung ist richtig, jetzt ist dann w dran.

Und ja, du hast das richtig verstanden: Zur Probe kannst du diese Werte auch einsetzen, die Gleichung stimmt. smile

31.07.2011, 18:15

ChronoTrigger

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ok, dann zur ableitung nach w:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial w} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 2x g_1(w,x)^3+3x^2 g_1(w,x)^2 \cdot D_x g_1(w,x) - sin(\pi g_2(w,x)) \cdot D_x g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =6xg_1(w,x)^2 \cdot D_w g_1(w,x)+6x^2 g_1(w,x) \cdot D_w g_1(w,x) \cdot D_x g_1,wx)+3x^2g_1(w,x)^2 \cdot D_{xw}g_1(w,x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -cos(\pi g_2(w,x)) \cdot D_w g_2(w,x) \cdot D_x g_2(w,x) - sin(\pi g_2(w,x) \cdot D_{xw} g_2(w,x) \end{eqnarray*}$

wie kann ich denn nun kontrollieren, ob die Ableitung stimmt? Ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} g(w,x) \end{eqnarray*}$ doch gar nicht gegeben bzw. berechnet.

31.07.2011, 19:06

Cel

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Da fehlt in der zweiten Zeile vorne ein $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Ansonsten gut. Und kontrollieren kannst du das nicht, gerade so kann man die Ableitungen auch allgemein herleiten (ist aber nicht so schön Augenzwinkern

, wie ich ja schon gesagt hab). Und von der Notation her müsste es nach meinem Wissen $\begin{eqnarray*} D_{wx} \end{eqnarray*}$ heißen, nicht anders herum. Das, was rechts steht, gibt die erste Ableitungsrichtung an.

Jetzt musst du das einsetzen, was du kennst.

Und dann das gleiche noch mal mit der zweiten Komponentenfunktion machen.

31.07.2011, 19:49

ChronoTrigger

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stimmt, da habe ich das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vergessen.

es ist also $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial w} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 2x g_1(w,x)^3+3x^2 g_1(w,x)^2 \cdot D_x g_1(w,x) - sin(\pi g_2(w,x)) \cdot D_x g_2(w,x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =6xg_1(w,x)^2 \cdot D_w g_1(w,x)+6x^2 g_1(w,x) \cdot D_w g_1(w,x) \cdot D_x g_1,wx)+3x^2g_1(w,x)^2 \cdot D_{xw}g_1(w,x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\pi cos(\pi g_2(w,x)) \cdot D_w g_2(w,x) \cdot D_x g_2(w,x) - sin(\pi g_2(w,x) \cdot D_{xw} g_2(w,x)=0 \end{eqnarray*}$

Es war ja $\begin{eqnarray*} w=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D_x g_1(w,x)=\frac23 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D_w g_1(w,x)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D_w g_2(w,x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_x g_2(w,x)=0 \end{eqnarray*}$ ,also ist

$\begin{eqnarray*} 6 \cdot 1 \cdot 0 + 6 \cdot (-1) \cdot 0 \cdot \frac23 + 3 \cdot 1 \cdot D_{xw}g_1(1,1)-\pi cos(\pi \cdot 0) \cdot 0 \cdot 0 - sin(\pi \cdot 0) \cdot D_{xw}g_2(1,1)=0 \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} D_{xw}g_1(1,1)=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe hierbei aber die Notation der Aufgabenstellung beibehalten.

Wenn ich das für die 2. Komponentenfunktion analog mache, erhalte ich, dass $\begin{eqnarray*} D_{x,w}g_2(1,1)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

01.08.2011, 19:45

Cel

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Nullen sind doch immer was feines. Also, auch hier sehe ich keine Fehler. Freude

02.08.2011, 00:17

ChronoTrigger

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alles klar, danke für die Hilfe.

Ich würde das ganz gerne aber noch einmal allgemein sehen. Auf wiki & co kann ich dazu leider nichts finden. Kennst du eine Seite, wo ich einen solchen allgemein beweis sehen könnte?

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