Elementarteiler endlicher abelscher Gruppen

31.07.2011, 10:43	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementarteiler endlicher abelscher Gruppen Hallo Ich suche die Elementarteiler folgender abelscher Gruppe: $\begin{eqnarray} G=\mathbb Z/5 \mathbb Z\oplus \mathbb Z/15\mathbb Z\oplus \mathbb Z/25\mathbb Z\oplus\mathbb Z/ 36\mathbb Z\oplus \mathbb Z/54\mathbb Z \end{eqnarray}$ Ich wüsste zwar, wie man Elementarteiler einer abelschen Gruppen n-ter Ordnung bestimmt, und dass für Elementarteiler $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ stets gelten muss: $\begin{eqnarray} a_{i} \| a_{i+1} \end{eqnarray}$ allerdings hilft mir das hier nicht wirklich weiter, da ich die Ordnung der Gruppe nicht erkennen kann. Kann mir jemand weiterhelfen? (Als Lösung ergibt sich 15, 90 und 2700, aber ich weiß nicht wie man darauf kommt) Gruß Biene
31.07.2011, 14:42	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich es richtig, dass du nur die Ordnung der Gruppe nicht bestimmen kannst? Das ist ein direktes Produkt, also ist die Ordnung 515253654
31.07.2011, 16:46	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für deine Antwort, kiste. Du hast natürlich recht mit der ORdnung, das hatte ich völlig übersehen. Mir geht es eher um die Frage wie man davon Elementarteiler bestimmt, meiner Meinung nach müsste es doch noch mehr Elementarteiler davon geben, z.B. 3 und 5 Gruß Biene
31.07.2011, 17:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kiste nicht mehr online ist, mache ich mal weiter. Ich kenne einen Algorithmus, der die Smith-Form einer Matrix bestimmt. Aus dieser kann man dann die Elementarteiler ablesen. Falls dieser Begriff nirgendwo in deinem Skript auftaucht (möglicherweise als "Elementarteileralgorithmus" oder "Invariantenteileralgorithmus"), findest du ihn hier beschrieben. Um die Elementarteiler dieser Gruppe zu finden, ist der Algorithmus auf die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}5\\&15\\&&25 \\ &&&36 \\ &&&&54\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ anzuwenden.
31.07.2011, 21:56	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo jester Danke für deinen Hinweis. Ja diesen Algorithmus kenne ich auch zur Bestimmung von Elementarteilern von Matrizen, allerdings ergeben sich bei mir, wenn ich den anwende als Elementarteiler: 1,1,0,180,0 wie kann das sein? müsste das produkt der Elementarteiler nicht der Ordnung der Gruppe entsprechen? gruß Biene
31.07.2011, 22:13	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann läuft bei dir im Algorithmus irgendwas schief. Es müssen die Elementarteiler 1, 1, 15, 90, 2700 herauskommen. Ich zeige dir mal ein paar Schritte. Als Tipp vielleicht noch folgende "Regel": Als erster Diagonaleintrag muss der ggT aller auftretenden Nicht-Null-Einträge entstehen. Dieser ist hier offensichtlich 1, also versuchen wir mal, eine 1 nach oben links zu bekommen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}5\\&15\\&&25 \\ &&&36 \\ &&&&54\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 5&&&36\\&15\\&&25 \\ &&&36 \\ &&&&54\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 5&&&1\\&15\\&&25 \\ &&&36 \\ &&&&54\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&&&5\\&15\\&&25 \\ 36&&&0 \\ &&&&54\end{pmatrix} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&&&5\\&15\\&&25 \\ 0&&&-180 \\ &&&&54\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \begin{array} {c\|cccc}1& &&0&\\ \hline &15&&&\\ &&25&& \\ 0&&&-180 & \\ &&&&54 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Schritte sind: -addiere vierte Zeile zur ersten -addiere erste Spalte (-7)-mal zur vierten -tausche erste und vierte Spalte -addiere erste Zeile (-36)-mal zur vierten -addiere erste Spalte (-5)-mal zur vierten Nun musst du in dem markierten Block wieder den ggT als obersten Diagonaleintrag erzeugen, indem du geeignete Umformungen durchführst. Wichtig ist, dass diese Umformungen über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ rückgängig gemacht werden können, d.h. sie müssen sich durch Matrizen aus $\begin{eqnarray} {\rm GL}_5(\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ (also solche mit ganzzahligen Einträgen und Determinante $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ ) beschreiben lassen. Und ja, die sich ergebenden Elementarteiler sollten (im endlichen Fall) als Produkt die Gruppenordnung ergeben.
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01.08.2011, 10:39	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Danke dafür. Ja soweit stimmen meine Umformungen noch überein, anscheinend habe ich mich danach vetran ich werde es gleich nochmal nachrechnen Gruß Biene

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