Transformation auf Polarkoordinaten

31.07.2011, 11:35	Rhababär	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation auf Polarkoordinaten Meine Frage: Wir sollen zeigen dass $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R\int_\mathbb R \! e^{{-1/2 (x²+y²)} } \, dxdy := \lim_{n \to \infty } \int_B \! e^{{-1/2 (x²+y²)} } \, dxdy= \sqrt{2\pi} \end{eqnarray}$ wobei B = $\begin{eqnarray} \left\{(x,y)\in \mathbb R²\|x²+y²<n\right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: meine "Idee" (kann man kaum so nennen da die aufgabe den untertitel "Transformation in Polarkoordinaten" hatte) war dass man x mit rcos $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ (bzw y = rsin $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ) ersetzen kann. Dann fällt über cos² + sin² =1 im exponenten alles bis auf r²/2 weg. Ich hab mich dann dafür entschieden im inneren integral von 0-> $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ zu integrieren. Als Äusseres integral käme dann $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! 2\pir e^{-\frac{r²}{2} } \, dr \end{eqnarray}$ heraus, da man über die Vorraussetzung für B und x²+ y² = r² ja sagen kann dass r²< $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ gelten muss... hier war ich mir dann nicht mehr sicher ob ich das so darf ?! Falls ja käme ich dann bei 2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ raus. Ich will aber bei $\begin{eqnarray} \sqrt{2\pi} \end{eqnarray*}$ rauskommen. Ich steh grad ein wenig aufm schlauch ob ich nen Schritt vergessen hab? Wäre für nen gedankenschubs dankbar
31.07.2011, 12:04	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation auf Polarkoordinaten Irgendwo steckt da ein Fehler schon in der Aufgabenstellung, also der allerersten Zeile (sicher, dass du die korrekt wiedergegeben hast?), wenn ich das jetzt richtig sehe. Bekannt ist $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} e^{- \frac{1}{2}x^2} \, \dd x = \sqrt{2 \pi} \end{eqnarray}$ Siehe Gaussian Integral. Dementsprechend ist $\begin{eqnarray} \left ( \, \int_{\mathbb R} e^{- \frac{1}{2}x^2} \, \dd x \, \right ) ^2 = 2 \pi \end{eqnarray}$ und das lässt sich nun passend verwurschteln, so dass man das tatsächlich mit Polarkoordinaten lösen kann. So dass man also das obere aus dem unteren folgern kann. Das führt dann eben genau auf die Form, die bei dir in der ersten Zeile steht. Aber das ist dann eben schon das Quadrat dessen, was rechts davon steht. Ansonsten sind deine Rechnungen soweit wohl richtig. Die Transformation auch.
31.07.2011, 12:44	Rhababär	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Aufgabenstellung war schon so... nur dass es halt net mit 2 Integralen über R sondern einem über R² war aber das is ja das gleiche... höchstens dass ich falsch notiert habe so schauts besser aus. $\begin{eqnarray} \int_\mathbb R \int_\mathbb R \! e^{-\frac{x²+y²}{2} } \, dx dy \end{eqnarray}$ Dein Hinweis aufs Gauß'sche Fehlerintegral dürft aber glaub ich helfen, danke vielmals

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