Einbettung der Lp Räume

31.07.2011, 11:57

Kallipo

Einbettung der Lp Räume

Hi zusammen!
Ich versuche mir gerade die Lp Räume anzueignen.
Ich verstehe, dass für 1 <p <q<unendlich gilt, dass wenn Lp integrierbar ist auch Lq integierbar sein muss (für beschränkte Gebiete).

Allerdings suche ich mir gerade ein leichtes Gegenbeispiel herzuleiten, dass zeigt, dass wenn integral von f(x)^2 (also L2) endlich ist , es nicht unbedingt heißen muss, dass das Integral von f(x) endlich sein muss (wieder auf einem beschränkten Gebiet).

Meine Überlegung war, mir eine Funktion zu suchen, die auf einem beschr Gebiet ein endliches Integral hat und wenn man diese funktion mit einer Wurzel verknüpft, auf dem zu betrachtenden Intervall einen Pol bekommt.
Somit wäre ja das Integral von f(x) (welche ich durch die Wurzelverknüpfung bekommen habe) auf dem Gebiet unendliich und ich hätte es gezeigt?

Ist der Ansatz richtig? hätte jmd einen Tipp für eine Funktion die nciht allzu kompliziert ist? oder ist sowas schwer herzuleiten?
danke

31.07.2011, 14:51

Felix

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Zitat:

Ich verstehe, dass für 1 <p <q<unendlich gilt, dass wenn Lp integrierbar ist auch Lq integierbar sein muss (für beschränkte Gebiete).

Du musst schon den Definitionsbereich nennen. Aber gehen wir mal von einem kompakten (beschränkten) reelen Intervall aus. Dort gilt $\begin{eqnarray*} L_p \subset L_q \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} q \leq p \end{eqnarray*}$ . Das sieht man leicht ein, wenn man das Intervall in die messbaren Mengen $\begin{eqnarray*} [f < 1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [f \geq 1] \end{eqnarray*}$ zerteilt. Es gilt also genau das Gegenteil, von dem was du behauptest.

Zitat:

Allerdings suche ich mir gerade ein leichtes Gegenbeispiel herzuleiten, dass zeigt, dass wenn integral von f(x)^2 (also L2) endlich ist , es nicht unbedingt heißen muss, dass das Integral von f(x) endlich sein muss (wieder auf einem beschränkten Gebiet).

Auch hier hast du es wieder verkehrt herum. Auf einem beschränktem Intervall ist $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ sicherlich immer integrierbar, wenn $\begin{eqnarray*} |f|^2 \end{eqnarray*}$ es ist. Die Umkehrung muss allerdings nicht gelten. Das ist wahrscheinlich worauf du hinaus willst. Um das einzusehen kannst du dir z.B. über die harmonische Reihe eine Funktion konstruieren. Oder nimm einfach $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt {x}} \end{eqnarray*}$

01.08.2011, 10:01

kalippo

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Vielen Dank erstmal.
Damit ich das jetzt richtig verstehe:
also L1 ist doch der größte Lebesque Raum und die Teilmengenbeziehung $\begin{eqnarray*} L_q\in L_p \end{eqnarray*}$ für q kleiner p besagt, dass wenn ich eine Funktion f(x) auf einem beschränkten intervall integrieren kann und das Integral endlich ist, f(x)^2 auch auf dem Gebiet ein endliches Integral besitzt?

ich versteh nicht ganz was du mit den meßbaren intervallen meint <1 >1...
jetz versuch ich erstmal dein Beispiel.
smile

01.08.2011, 10:17

kalippo

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So hab dein Beispiel mal berechnet mit dem Intervall von 0 bis 1.
hat alles geklappt, danke!

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