Identität zeigen (Skalarprodukt, Rotation)

31.07.2011, 16:13

mike3382

Identität zeigen (Skalarprodukt, Rotation)

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich sollte folgende Identität zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec r}{r^2} \left(\vec N \cdot \vec r\right) = \frac{1}{2} \nabla \times \left({\frac{\vec r}{r^2} \times \vec N}\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider finde ich einfach nicht den richtigen Ansatz. Ich habe in einem steinalten Buch von 1932 etwas dazu gefunden (siehe angehängtes Bild), jedoch komme ich da mit der Notation nicht klar.

Ich habe es mit verschiedenen Rechenregeln für Divergenz und Roation (siehe Wikipedia artikel) versucht, ich konnte bisher einzig die Identität

-\left( \frac{3\vec n}{l^2} -\frac{2\vec n\cdot l}{l^4} - \frac{\vec n}{l^2} +\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \right) = \frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4}

zeigen können.

Könnte mir da vielleicht jemand helfen?

Liebe Grüsse
Mike

31.07.2011, 16:21

mike3382

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Noch was vergessen:

Ich meinte oben natürlich $\begin{eqnarray*} -\left( \frac{3\vec n}{l^2} -\frac{2\vec n\cdot \vec l}{l^4} - \frac{\vec n}{l^2} +\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \right) = -\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \end{eqnarray*}$

Und es gilt $\begin{eqnarray*} ||\vec r|| = r \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ||\vec l|| = l \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Ortsvektor ist und $\begin{eqnarray*} \vec N \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ ein anderer beliebiger Vektor mit Einheitslänge ist.

31.07.2011, 18:21

Huggy

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RE: Identität zeigen (Skalarprodukt, Rotation)
Die Formel kann so nicht stimmen, wie eine Dimensionsanalyse zeigt.

31.07.2011, 18:49

mike3382

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ja, da hat noch etwas gefehlt. So sllte es stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{3\vec n}{l^2} -\frac{2\vec n\cdot \vec l^2}{l^4} - \frac{\vec n}{l^2} +\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \right) = -\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \end{eqnarray*}$
Die Formel ist die selbe wie im angehängten Bild aus dem alten Buch.

Gruss
Mike

31.07.2011, 18:58

Huggy

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Neine Bemerkung bezieht sich auf die Ausgangsformel:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec r}{r^2} \left(\vec N \cdot \vec r\right) = \frac{1}{2} \nabla \times \left({\frac{\vec r}{r^2} \times \vec N}\right) \end{eqnarray*}$

01.08.2011, 01:57

mike3382

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Also, nehmen wir an $\begin{eqnarray*} \vec r,\vec N \in \mathbf{R}^3 \end{eqnarray*}$ dann haben wir auf der linken Seite einen Vektor durch eine relle Zahl mal ein Skalarprodukt = ein Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbf{R}^3 \end{eqnarray*}$ .Auf der rechten Seite ist die Rotation von einem Vektorprodukt, also die rotation von einem Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbf{R}^3 \end{eqnarray*}$ = ein Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbf{R}^3 \end{eqnarray*}$ . So haben doch beide Seiten die selbe Dimension, oder?

Siehe im Anhang das Bild, das ist was ich gerne zeigen möchte

01.08.2011, 09:36

Huggy

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Diese Gleichung unterscheidet sich von deiner ursprünglichen Gleichung. Bei dir stand $\begin{eqnarray*} \vec r/r^2 \end{eqnarray*}$ rechts in der Klammer. Jetzt steht da $\begin{eqnarray*} \vec r/r \end{eqnarray*}$ . Damit passt es jetzt dimensionsmäßig.

Was ist nun $\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ ?
Ich hatte erst mal angenommen, das sei ein beliebiger konstanter Vektor. Dann stimmt die Gleichung aber noch immer nicht.

01.08.2011, 09:59

mike3382

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Ja, du hast recht, ist mir nicht aufgefallen als ich die Formel eingegeben habe.

$\begin{eqnarray*} N_1 \end{eqnarray*}$ ist laut Beschreibung ein "beliebiger Vektor" mit Einheitslänge. Ich habe einen Scan einer Seite mit einer Skizze angehängt.

Vielleicht noch kurz zum Kontext des Ganzen: Ich versuche in einem Buch über Radiometrie nachzuvollziehen, wie der Autor genau vorgegangen ist. Konkret geht es darum ein Oberfächenintegral über eine begrenzte Fläche auf einer Halbkugel zu berechnen. Das lässt sich mit dem Satz von Stokes ja als Linienintegral über die geschlossene Randkurve ausdrücken. Damit man den Satz von Stokes anwenden kann muss man den Ausdruck zuerst als Rotation eines Vektorfeldes ausdrücken, was der Autor auch abgekürzt zeigt. Er schreibt dazu "It is easily shown that"... und da ist mein Problem. Ich kann die Schritte nicht nachvollziehen. Der Autor referenziert dazu ein altes Buch (1932), wo das gezeigt wird (Siehe Grafik im ersten Post), aber da stellt es bei mir an. Offenbar verwendet der da andere Notation (Wo bleibt das Vektorprodukt)?

01.08.2011, 11:02

Huggy

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Die Sache bleibt unklar. Ich habe mal Mathematica die Formeln auswerten lassen. Es ist dabei

$\begin{eqnarray*} vr= \vec r =(-x, -y, -z) \end{eqnarray*}$ Das Minuszeichen wegen der Fußnote in der Kopie.

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt {x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} vn=\vec N_1=(nx,ny,nz) \end{eqnarray*}$

Es ist zu sehen, dass die Formeln nicht übereinstimmen, unabhängig davon, ob $\begin{eqnarray*} \vec N_1 \end{eqnarray*}$ normiert ist oder nicht. Darunter dann das Ergebnis mit

$\begin{eqnarray*} vn1=\vec N_1=(1, 0, 0) \end{eqnarray*}$

was zeigt, dass es nicht mal mit einem Einheitsvektor in Achsenrichtung funktioniert. Ich fürchte, da fehlt noch eine wichtige Information.

Das Buch wird übrigens nur wegen des Satzes von Stoke zitiert. Die Herleitung der Formel soll in der darunter zitierten Zeitschrift sein. Vielleicht kannst du die in einer Bibliothek auftreiben.

01.08.2011, 12:21

mike3382

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Ja, das stimmt, ergibt total was anderes. Danke für die Auswertung in Mathematica.

Die Zeitschrift hab ich aufgetrieben, das Research Bulletin 339 von Z.Yamauti. Die Grafik im allerersten Post ist ein Auschnitt aus einem Scan davon. Ich hab gleich die ganze Seite angehängt. In der Fussnote wird die Identität gezeigt, allerdings sehe ich trotzdem nicht wie das Zustande kommt. Wo bleibt denn hier beispielsweise das Vektorprodukt? War die Notation vor 80 Jahren anders?

Das hier kann ich nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} -\left( \frac{3\vec n}{l^2} -\frac{2\vec n\cdot \vec l^2}{l^4} - \frac{\vec n}{l^2} +\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \right) = -\frac{2\vec l (\vec l \cdot\vec n)}{l^4} \end{eqnarray*}$

01.08.2011, 14:47

Huggy

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Ich bin ziemlich sauer! unglücklich

Das Forum soll bei mathematischen Fragen helfen. Es ist nicht dazu gedacht, schlampige Vorbereitung oder schlampiges Aufschreiben der Fragen durch unnötige Detektivarbeit der Helfer korrigieren zu lassen.

In der Zeitschrift steht ja wieder eine andere Formel. Wenn man statt l den Buchstaben r benutzt, lautet sie:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec r}{r^4} \left(\vec n \cdot \vec r\right) = \frac{1}{2} \nabla \times \left( \vec n \times {\frac{\vec r}{r^2}}\right) \end{eqnarray*}$

Es steht also links nicht r^2 im Nenner, sondern r^4. Und rechts steht in der Klammer tatsächlich r^2 im Nenner. Und diese Formel ist auch korrekt.

Die Herleitung benutzt die Formel:

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \times (\vec a \times \vec b)=(\vec b \cdot \vec \nabla) \vec a - (\vec a \cdot \vec \nabla) \vec b + \vec a (\vec \nabla \cdot \vec b)- \vec b (\vec \nabla \cdot \vec a) \end{eqnarray*}$

Diese Formel ergibt sich aus der Graßmannentwicklung für das doppelte Vektorprodukt in Verbindung mit der Produktregel für Ableitungen. Wenn $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ein konstanter Vektor ist, also seine Ableitungen 0 sind, vereinfacht sich das zu:

$\begin{eqnarray*} (*) \quad \vec \nabla \times (\vec a \times \vec b) = - (\vec a \cdot \vec \nabla) \vec b + \vec a (\vec \nabla \cdot \vec b) \end{eqnarray*}$

In der Fußnote der Zeitschrift ist vermutlich durch einen Druckfehler bei $\begin{eqnarray*} (\vec a \cdot \vec \nabla) \widehat = (\vec n \cdot \vec \nabla) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \vec \nabla \end{eqnarray*}$ verlorengegangen, sodass da nur noch $\begin{eqnarray*} (\vec n) \end{eqnarray*}$ steht. In der Formel (*) muss man nun die auf

$\begin{eqnarray*} \vec b \widehat = \frac{\vec r}{r^2} \end{eqnarray*}$

wirkenden Ableitungen ausrechnen, es sei denn, man ist im Besitz einer älteren Formelsammlung, die manchmal auch diverse Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f(\vec r, r) \end{eqnarray*}$ enthielten.

Es bleibt die Frage, weshalb in der anderen Quelle aus r^4 ein r^2 wurde und aus r^2 ein r? Vielleicht ist dort r nicht als $\begin{eqnarray*} \sqrt {x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ definiert, sondern als $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ . Darüber müssten die vorhergehenden Seiten Aufschluss geben. Auffallend ist jedenfalls, dass dort der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec r_1 \end{eqnarray*}$ heißt, der Skalar aber r ohne Index. Es kann sich natürlich auch um einen Druckfehler handeln.

01.08.2011, 16:47

mike3382

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Hallo Huggy

Erst mal vielen Dank für deine Hilfe! Gott

Was du schreibst macht Sinn. Ich weiss es wirklich zu schätzen dass du mir dabei geholfen hast. Würd dir dafür grad ein Bier spendieren smile

Es war nie meine Absicht Andere die Detektivarbeit machen zu lassen. In meinem ersten Posting habe ich eigentlich versuche das Ganze mit den mir zu der Zeit zur Verfügung stehenden Informationen aufzuschreiben. Das Bild das ich dort angehängt habe zeigt übrigens genau die Fussnote aus der Zeitschrift, damit konnte ich ja nichts anfangen. Dank deinen Hinweise macht das nun alles mehr Sinn. Ich bin davon ausgegangen dass für ein geschultes Auge intuitiv klar sein sollte was gemeint ist weil im Buch ja "..it is easily shown.." stand.

Ich hätte allerdings die Formeln nochmals genau ansehen müssen, ich muss zugeben dass ich da schon ein wenig schlampig war.

Danke für den Hint mit $\begin{eqnarray*} \sqrt%20{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ , ich werde das alles nochmals ansehen.

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