einen Raum, der durch eine Basis aufgespannt wird

31.07.2011, 19:12

stevewilson

Matrix eingeschränkt auf einen Kern/eine Basis/einen Raum, der durch eine Basis aufgespannt wird

Hallo,

in meinem Skript zu DGL steht folgende Definition:

$\begin{eqnarray*} A_{k}=A|_{N(\lambda_{k})} \end{eqnarray*}$

Ak und A sollen Matrizen sein. Dieses N ist im Endeffekt ein Kern einer Matrix.

Also ist wohl gemeint: Eine Einschränkung der Matrix auf eine Basis bzw. auf einen Raum, der
durch eine Basis eingespannt wird.

Was kann das bedeuten?

Wir können ja mal ein Beispiel nehmen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -8 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eingeschränkt auf:

$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, wie ich das ausrechne?

01.08.2011, 15:51

Mazze

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Was ich mir vorstellen könnte ist, dass man sich das Bild der Matrix anschaut, wenn man das Urbild auf die entsprechende Menge einschränkt. Man kann ja jede Matrix mit einer linearen Abbildung beschreiben, und wenn man eine Abbildung auf eine Menge einschränkt wissen wir ja, wie man damit umgeht.

01.08.2011, 18:38

stevewilson

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Mittels Spektralzerlegung soll das gehen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Schurzerlegung

Aber wie geht das dann bei einer Matrix, bei der

$\begin{eqnarray*} V_{1}*A*{V_{1}}^{-1} = A \end{eqnarray*}$

gilt?

Z.b. bei der Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.08.2011, 23:50

Mazze

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Möchtest Du jetzt die Schurform einmal durchrechnen? Ich sehe nicht wie das mit dem Ausgangsproblem zu tun hat. Kannst Du eventuel noch etwa smehr dazu sagen (in welchem Bereich Du dich befindest, was die eigentliche Aufgabe ist etc.)

02.08.2011, 01:29

stevewilson

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So, jetzt muss ich erstmal gedankliches Backtracing machen...

Also...

Es gibt eine Lösungsformel für DGL-Systeme 1.Ordnung, die da lautet:

$\begin{eqnarray*} u(t)=exp((t-t_{0})A)u_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \! exp((t-s)A)b(s) \, ds \end{eqnarray*}$

Sofern man ein inhomogenes AWP hat:

$\begin{eqnarray*} u'=Au + b(t), u(t_{0})=u_{0} \end{eqnarray*}$

Mein DGL-System lautet:

$\begin{eqnarray*} u'=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anfangswerte:

$\begin{eqnarray*} u_{1}(0)=1 u_{2}(0)=1 \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ja exp(tA) berechnen. Doch A ist nicht nilpotent. Daher zerlege ich mittels Spektralzerlegung die Matrix und bekomme einen nilpotenten Teil und kann somit exp(tA) berechnen...

So machen die das in diesem Skript:

http://www.ifam.uni-hannover.de/~ehrnstr...ta/DE_short.pdf

Seite 11 unten, bis Seite 13 Mitte...

03.08.2011, 09:46

Mazze

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In dem Fall führt die Schurzerlegung zum Ziel. Du spaltestest dann das Ergebnis in eine Summe aus Diagonalmatrix und nilpotenter Matrix auf.

So, der einzige doppelte Eigenwert ist die 1. Ein zugehörige Eigenvektor wäre (1,1). Als erstes geben wir einen Vektor an, so dass

{(1,1),v} eine orthogonale Basis ist. Danach werden die Vektoren normiert und man erhält tatsächlich

$\begin{eqnarray*} VAV^{-1} = D \end{eqnarray*}$

wobei D eine obere Dreiecksmarix ist. Rechne mal deinen Weg vor, weil ich komme auf eine obere Dreiecksmatrix.

03.08.2011, 10:33

stevewilson

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Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} V^{-1}*A*V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=V^{-1}*\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}*V=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{k}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_{k}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{k}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie geht es dann weiter?

$\begin{eqnarray*} exp(tA)=e^t*(I_{k} + t*N_{k})=e^t* \begin{pmatrix} 1 & 2t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig?

03.08.2011, 10:56

stevewilson

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oder

$\begin{eqnarray*} exp (tV^{-1}*T*V)=e^t* \begin{pmatrix} 1 & 2t \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} exp(tA) = V^{-1}*exp(tV^{-1}*T*V)*V^{-1} \end{eqnarray*}$

???

03.08.2011, 11:19

stevewilson

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ich meinte:

$\begin{eqnarray*} exp(tV^{-1}*A*V)=e^t* \begin{pmatrix} 1 & 2t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} exp(tA)=V*exp(tV^{-1}*A*V)*V^{-1} \end{eqnarray*}$

03.08.2011, 12:49

Mazze

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Der algorithmus für die Schurform sieht vor, dass der Eigenvektor zu einer orthonormalen Basis ergänzt wird. Die Vektoren (1,1) und (1,0) sind zwar eine Basis, aber nicht orthogonal. Nach dem Algorithmus hätte man zum Beispiel

(1,1) und (1,-1)

betrachtet (und normiert). Unabhängig davon funktioniert es für deine Matrix. Wichtig zu wissen ist :

$\begin{eqnarray*} e^{tA} = e^{tVDV^{-1}} = Ve^{tD}V^{-1} \end{eqnarray*}$

Das heißt, wenn D eine obere Dreiecksmatrix ist mit $\begin{eqnarray*} VDV^{-1} = A \end{eqnarray*}$ , kannst Du

$\begin{eqnarray*} e^{tA} \end{eqnarray*}$

leicht berechnen, in dem Du

$\begin{eqnarray*} Ve^{tD}V^{-1} \end{eqnarray*}$

berechnest. $\begin{eqnarray*} e^{tD} \end{eqnarray*}$ hast Du mit $\begin{eqnarray*} e^t \begin{pmatrix} 1 & 2t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ richtig bestimmt.

03.08.2011, 13:06

stevewilson

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Achso, jetzt weiß ich was eine orthonormale Basis ist.

Für mein

$\begin{eqnarray*} V*e^{tD}*V^{-1} \end{eqnarray*}$

habe ich raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (2t+1)e^t & 2te^t \\ 2te^t &(-2t+1)e^t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig? Wie setze ich das jetzt in die u(t)-Gleichung mit dem Integral ein, die ich oben gepostet habe?

03.08.2011, 13:29

Mazze

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In dem Integral hast Du ja ein Matrix-Vektor-produkt. Heraus kommt also ein Vektor als Integrand. Das Integral eines Vektors ist definiert als das Integral der Komponenten des Vektors (sofern Du nicht über einen Vektor integrierst, was hier nicht der Fall ist).

Deine Matrix habe ich jetzt nicht überprüft, aber das Matrixprodukt kriegst Du ja gut hin Augenzwinkern

04.08.2011, 04:20

stevewilson

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Okay, habe eine Lösung rausbekommen, die leider falsch ist. Habe ich beim Einsetzen in die DGL gemerkt. Vermutlich irgendwo nen Vorzeichenfehler, der sich fortgepflanzt hat.

Habe in die Musterlösung geschaut und deren Lösungsweg ist kürzer, weil die das
exp(tA) mithilfe des sogenannten Spektrums von A lösen. ES gibt wohl ein Polynom q, für das
gilt:

$\begin{eqnarray*} D^jq(\lambda_{k})=D^jf(\lambda_{k}) \end{eqnarray*}$

Ich frage mich was dieses D^j ist. Jedenfalls kann man ein Polynom vom Grad = der algebraischen Vielfachheit des Eigenvektors minus 1 bestimmen, mit dem man dann exp(tA) ausrechnen kann.

Zitat:

Das Integral eines Vektors ist definiert als das Integral der Komponenten des Vektors (sofern Du nicht über einen Vektor integrierst, was hier nicht der Fall ist).

Wie wäre denn das Integral definiert, wenn ich über einen Vektor integrieren würde? Das hat mich bei Berechnen eines elektrischen Feldes immer interessiert...

04.08.2011, 12:18

Mazze

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Zitat:

Ich frage mich was dieses D^j ist.

Im Normalfall ist das eine allgemeine Notation für eine partielle Ableitung (j ist dabei ein Multiindex). Allerdings weiß ich nicht ob das hier wirklich gemeint ist.

Zitat:

Wie wäre denn das Integral definiert, wenn ich über einen Vektor integrieren würde?

Das geht dann in die Integrationstheorie und würde an dieser Stelle zu weit führen.

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