Aufstellen einer Funktionsgleichung 2. Grades

01.08.2011, 01:02

Meisel

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Aufstellen einer Funktionsgleichung 2. Grades

Meine Frage:
Halli Hallo!

Ich hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe, weil ich sowas vorher noch nie bestimmen musste. Hoffe ihr könnt mir wieder wertvolle Tipps geben, damit ich sowas in Zukunft allein lösen kann smile

smile

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Parabel 2-ten Grades mit dem Scheitel S(-1/-2) und Py(0/3).

Meine Ideen:
Die allgemeine Form der Gleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}<br /> f'(x)=3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}<br /> f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}<br /> f'''(x)=6a_{3} \end{eqnarray*}$

1. Bedienung:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(-1)=-2 \end{eqnarray*}$

2. Bedienung:

$\begin{eqnarray*} f'_{2}(0)=3 \end{eqnarray*}$

Meine Umformung:

$\begin{eqnarray*} a_{3}*(-1)^3+a_{2}*(-1)^2+a_{1}*(-1)+a_{0}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3a_{3}*(0)^2+2a_{2}*(0)+a_{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{3}*(0)^3+a_{2}*(0)^2+a_{1}*(0)+a_{0}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3a_{3}*(-1)^2+2a_{2}*(-1)+a_{1}=0 \end{eqnarray*}$

Und damit:

$\begin{eqnarray*} a_{0}=3<br /> a_{1}=0 \end{eqnarray*}$

Lösung des nachstehenden linearen Gleichungssystems:

$\begin{eqnarray*} -a_{3}-a_{2}+3=-2<br /> -3a_{3}-2a_{2}=0 \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht weiter unglücklich

unglücklich

wie bekomme $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ raus??

01.08.2011, 01:25

Quastor

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Hi,
in der Aufgabenstellung steht, dass du eine Funktion 2. Grades bestimmen sollst, schreibt jedoch die allgemeine Form einer Funktion 3. Grades auf. Deswegen ist deine Rechnung auch falsch. JEtz überleg nochmal die Bedingungen.

01.08.2011, 08:41

Maddin17

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wenn du 4 Koeffizienten ausrechnen möchtest (also hier deine $\begin{eqnarray*} a_0 , ..., a_3 \end{eqnarray*}$ ), dann benötigst du hierfür auch mindestens 4 Bedingungen (/Gleichungen) ...

wenn du das Ganze also mit einer Funktion 2.Grades machst, brauchst du 3 Bedingungen. Da fehlt dir also noch eine^^ (wobei deine 2. Begingung sowieso falsch sein dürfte)

01.08.2011, 09:47

DmitriJakov

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@Maddin 17
Die Angabe des Scheitelpunkts entält bereits 2 Informationen. Erstens die Information der Lage des Punktes und zweitens die Information, dass die erste Ableitung an dieser Stelle Null ist. Auch passt der zweite Punkt P wunderbar zum Scheitelpunkt.

@Meisel
Du kannst nun ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen der allgemeinen Form aufstellen:
$\begin{eqnarray*} y=a\cdot x^{2} + b\cdot x+c \end{eqnarray*}$

Oder Du verwendest die Scheitelpunktform:
$\begin{eqnarray*} f(x)=a*\left(x-x_{S}\right)^{2} + y_{S} \end{eqnarray*}$
Und musst nur noch a berechnen, indem Du den Punkt P(0;3) verwendest.

Diese Methode führt ca. in einem Zehntel der Zeit zur Lösung als die Methode mit dem Gleichungssystem. Ich behaupte sogar, dass die Scheitelpunktmethode hier schneller ist als man das Gleichungssystem aus 3 Gleichungen in den TR getippt hat.

01.08.2011, 10:01

Maddin17

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Zitat:

Original von DmitriJakov
@Maddin 17
Die Angabe des Scheitelpunkts entält bereits 2 Informationen. Erstens die Information der Lage des Punktes und zweitens die Information, dass die erste Ableitung an dieser Stelle Null ist. Auch passt der zweite Punkt P wunderbar zum Scheitelpunkt.

ja, das is mir schon klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich wollte sie nur zum Nachdenken anregen, vielleicht wär sie ja auch selbst drauf gekommen =)

aber ihre 2. Bedingung ist trotzdem falsch, weil sie nicht den Scheitelpunkt sondern den Schnittpunkt mit der y-Achse in die Ableitung eingesetzt hat?

01.08.2011, 10:09

DmitriJakov

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Ja, jetzt sehe ich, was Du meinst. Sie hätte den Strich weglassen müssen. f(0)=3
und dann hätte es gepasst. Aber egal, im weiteren Verlauf der Umformungen ist es ohnehin zur Titanic-Katastrophe gekommen.

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02.08.2011, 00:20

Meisel

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So, ich hab mir die Bedienungen nochmal überlegt... und durch die vielen Beiträge bin ich noch berwirrter smile

smile

$\begin{eqnarray*} f(-1)=-2<br /> f(0)=3<br /> f'(-1)=0 \end{eqnarray*}$

Sind die Bedienungen so richtig?

02.08.2011, 00:32

Mathe-Maus

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Parabel 2. Grades bestimmen ? Oder doch 3. Grades ? verwirrt

verwirrt

Bedienungen -> Bedingungen !

02.08.2011, 00:34

Meisel

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Parabel 2. Grades, muss ich da in die 2. Ableitung einsetzten??

02.08.2011, 00:37

Mathe-Maus

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Parabel 2. Grades ... prima !

Jetzt benutze die Scheitelpunktsform (siehe oben) bzw. schlage in der Formelsammlung nach, was e und d sind.

02.08.2011, 01:02

Meisel

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unglücklich

Es tut mir leid, aber ich kann im Moment mit dieser Umformung nichts anfangen unglücklich

unglücklich

Die Scheitelpunktform kenne ich auch nur in dieser Ausführung:

$\begin{eqnarray*} x^2+bx+(\frac{b}{2}) =(x+\frac{b}{2} )^2 \end{eqnarray*}$

Trotzdem habe ich immer noch das Problem, dass ich die Werte nicht aus den angegeben Punkten ablesen bzw. einsetzen kann unglücklich

unglücklich

Deswegen fällt mir der Lösungsweg, wie er auch in meinem Schulbuch beschrieben wird evtl. leichter. Im Buch wird in keiner Weise die Scheitelpunktform bei diesen Aufgaben erwähnt verwirrt

verwirrt

Im Buch wird erklärt, ich soll 1. die Bedienungen rauslesen und 2. das Gleichungssystem lösen und 3. die fehlenden Werte einsetzen bis ich die gesuchte Funktion habe.

Ergo: Momentan bin ich wirklich sehr veriwirrt smile

smile

02.08.2011, 01:23

Mathe-Maus

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Hallo Meisel,

wenn Du mindestens in der 9.Klasse bist, kennst Du sicher die Scheitelpunktsform.
Formelsammlung: Quadratische Funktionen.

Das heisst, wenn man den Scheitelpunkt kennt, kann man SOFORT die Gleichung für die Normalparabel aufstellen!

Die Scheitelpunktsform für die NORMALPARABEL lautet ( siehe Formelsammlung).

$\begin{eqnarray*} y=(x+d)^{2}+e \end{eqnarray*}$

Wenn jedoch eine Streckung oder Stauchung vorliegt, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} y=a\cdot (x+d)^{2}+e \end{eqnarray*}$

Du benötigst keine Ableitungen!

LG Mathe-Maus

PS: ich schicke Dir noch eine e-Mail...

02.08.2011, 02:11

Bjoern1982

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Hier noch 2 Verweise auf das Boardprinzip:

Zitat:

Tipps und Hilfen sollten nicht per PN oder E-Mail gegeben, sondern im Board gepostet werden, damit sie auch für andere zugänglich sind.

Den Teil mit "wir werden dann deinen Lösungsweg mit dir weitergehen" finde ich gerade nicht - aber selbst wenn ich mir nur eingebildet habe, dass das da irgendwo stand, ist es eigentlich ja auch intuitiv klar, dass das sinnvoll und fair ist. Idee!

Idee!

Trotz etlicher Versuche des Fragestellers den Weg über Ableitungen zu gehen ist das hier leider nicht passiert und wurde ignoriert. unglücklich

unglücklich

02.08.2011, 07:32

PhyMaLehrer

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Jetzt möchte ich auch mal noch meinen Senf dazu geben.

Daß die allgemeine Form der Funktionsgleichung ganz oben im ersten Beitrag "ein Grad zu groß" war, ist nun geklärt. Verwendet werden muß

f(x) = ax² + bx + c

(oder auch a1, a2, a3 statt a, b, c, wenn dir das besser gefällt.)

Dort haben wir drei Unbekannte, aber wir haben nur zwei Punkte gegeben, den Scheitelpunkt und noch einen zweiten Punkt.

Aaaber: So eine Parabel ist ja symmetrisch! Du kannst somit noch einen dritten Punkt finden (mit einer Skizze ist das ganz einfach) und damit ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen aufstellen und lösen!

(So hätte ich es gemacht. Damit brauchst du auch die Scheitelpunktsform nicht, wenn sie dir "mißfällt"! smile

smile

)

02.08.2011, 22:33

Maddin17

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Sie hat die 3 Bedingungen doch eh schon?! Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Meisel
$\begin{eqnarray*} f(-1)=-2<br /> f(0)=3<br /> f'(-1)=0 \end{eqnarray*}$

Mathe-Maus hat zwar recht, dass es in diesem Fall über die Scheitelpunkt-Form schneller geht, aber wenn ihr das in der Schule anders macht, solltest du das auch so handhaben smile

smile

03.08.2011, 03:05

Mathe-Maus

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Zitat:

Original von Meisel
$\begin{eqnarray*} f(-1)=-2<br /> f(0)=3<br /> f'(-1)=0 \end{eqnarray*}$

Sind die Bedienungen so richtig?

Bitte, bitte ... es heisst BEDINGUNGEN !

Ansonsten schließe ich mich den anderen Kommentaren an, wenn es NICHT über die Scheitelpunktsform gelöst werden soll ... ja, es geht auch anders !

Deine Ansätze (siehe oben) sind richtig. Freude

Freude

Nun stelle die einzelnen Gleichungen auf.

Du weisst:
$\begin{eqnarray*} y= a*x^{2}+b*x +c \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y^{' } = 2a*x+b \end{eqnarray*}$

In Deinen Ansätzen hast Du bereits x und y gegeben. Setze diese einfach ein!

LG Mathe-Maus Wink

Wink

PS: Hab im Moment wenig Zeit, weiterführende Hilfe anderer Member ist erwünscht.

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