Schwerpunkt berechnen

01.08.2011, 11:13

Slaxx

Schwerpunkt berechnen

Hallo zusammen
Ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

Die Dichte einer Kugel mit Radius R als Funktion des Abstandes r vom Mittelpunkt sei $\begin{eqnarray*} \rho(r)=R-r \end{eqnarray*}$ .
Berechnen Sie ihr Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt.

Ich weiss dass sich das Trägheitsmoment mit folgender Formel berechnen lässt: $\begin{eqnarray*} \int\int\int \! r^{2} \, dxdydz \end{eqnarray*}$

Was mir allerdings Schwierigkeiten bereitet ist, dass da einfach steht bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt. Aus meiner Sicht muss ich doch wissen um welche Achse es sich handelt oder wie soll ich denn den Abstand zu dieser nicht bekannten Achse ausdrücken?

Vielen Dank für eure Tipps.

01.08.2011, 14:24

kasi

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dann such dir doch einfach eine achse aus. den abstand drückst du dann durch R-r aus.

zur berechnung empfiehlt es sich kugel koordinaten zu verwenden.

01.08.2011, 15:20

Huggy

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Zitat:

Original von kasi
dann such dir doch einfach eine achse aus.

Richtig!
Da die Dichte kugelsymmetrisch verteilt ist, ist das Trägheitsmoment bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt dasselbe.

Zitat:

den abstand drückst du dann durch R-r aus.

Das ist aber grober Unfug oder völlig unverständlich ausgedrückt.

Zunächst hat der Fragesteller r in zwei unterschiedlichen Bedeutungen benutzt. Bei der Dichte ist r der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel. Bei dem Trägheitsmoment ist es aber der Abstand zur Drehachse. Da gehören unterschiedliche Bezeichnungen hin, sonst ist Tohuwabohu vorprogrammiert.

Dann ist die Formel für das Trägheitsmoment falsch. Die wäre nur bei homogener Dichte = 1 richtig. Ich benutze mal d für den Abstand zur Drehachse. Dann lautet die korrekte Formel:

$\begin{eqnarray*} I = \iiint d^2 \rho ~dV= \iiint d^2 (R-r) ~dV \end{eqnarray*}$

Und jetzt, kasi, darfst du weiterhelfen. Aber bitte mit mehr Sorgfalt!

01.08.2011, 19:53

Dopap

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Meine Idee:
schrittweises "heranarbeiten"

1.) Trägheitsmoment eines Ringes bestimmen.
( sehr dünn und sehr schmal : genauer, ein Holzylinder)
2.) Den Ring zu einer sehr dünnen Scheibe integrieren.
3.) Das Trägheitsmoment dieser Scheiben zur Kugel integrieren.

zu 1.) gedanklich Kugel aus negativer Y_Richting betrachtet ergibt Kreis in X-Y mit Radius R

das "d"= von Huggy ist jetzt x und die Höhe ist z.

Sei ein Kreisscheibchen in der Höhe z eingezeichnet. Das Trägheitsmomemt eines Kreisringes (1) wäre

$\begin{eqnarray*} dT_{ring}(z,x)=2 \pi x(x^2 \sqrt{z^2+x^2} )\dd z \dd x \end{eqnarray*}$

2*pi*x = Umfang
x^2 wegen Trägheitsmoment
Wurzel(...) = Dichte
T = Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment eines Kreisscheibchens wäre das Integral x=0 bis Wurzel(R^2-z^2)

(2) $\begin{eqnarray*} dT_{scheibe}(z)=2\pi \int _0^{\sqrt{R^2-z^2}} x^3 \sqrt{z^2+x^2} )\dd z \dd x \end{eqnarray*}$

(3) und das für z=0 bis R integriert müsste das halbe Trägheitsmoment sein.

01.08.2011, 23:32

kasi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} dT_{scheibe}(z)=2\pi \int _0^{\sqrt{R^2-z^2}} x^3 \sqrt{z^2+x^2} )\dd z \dd x \end{eqnarray*}$

experte bin ich auf diesem gebitet sicher nicht, aber wären kugelkoordinaten nicht einfacher zu handhaben?

03.08.2011, 08:08

Dopap

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in Ordnung kasi, Kugelkoordinaten sind bei Kugeln immer erste Wahl.
Könnte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} J_K= 4 \int_0^R \int_0^{\frac \pi 2} \int_0^{\pi} (r\cos \beta)^2(R-r) r^2 \,\dd \lambda \,\dd \beta \,\dd r \end{eqnarray*}$

Beta= Breite, Lambda=Länge

$\begin{eqnarray*} (r\cos \beta)^2 = (\text {Abstand zur Drehachse} \text{ z})^2 \end{eqnarray*}$ wegen Trägheitsmoment

$\begin{eqnarray*} (R-r) \end{eqnarray*}$ =Dichte im Volumenelement

$\begin{eqnarray*} r^2 \dd \lambda \dd \beta \dd r \end{eqnarray*}$ = Volumenelement

r steht schon in 5. Potenz, $\begin{eqnarray*} J_K \end{eqnarray*}$ müsste dann R^6 enthalten.

03.08.2011, 09:29

Herma

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$\begin{eqnarray*} \rho(r)=R-r \end{eqnarray*}$ ?????????
Betrachte mal die Dimensionen in dieser Gleichung!

03.08.2011, 17:05

Dopap

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Zitat:

Original von Herma
$\begin{eqnarray*} \rho(r)=R-r \end{eqnarray*}$ ?????????
Betrachte mal die Dimensionen in dieser Gleichung!

steht so im Original. Ist übrigens keine Gleichung sondern eine Funktionsvorschrift.
In Mathe sind üblicherweise in Integralen alle Grössen Koordinaten oder auf Dimension "Zahl" gebracht.
Das sieht man an Aufgaben wie:

Die Zuflussrate in ein Becken sei
$\begin{eqnarray*} f(t)=0.5t^3+0.2t^2+4 ~ \text{ t in Minuten f(t) in Liter/min} \end{eqnarray*}$
Wann ist ein Becken von 800 Litern Fassungsvermögen gefüllt?

sonst müsste ja stehen:

$\begin{eqnarray*} f(t)=0.5\frac {l}{min^4}t^3+0.2\frac {l}{min^3}t^2+4\frac{l}{min} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 800l= \int_0^{t_1} 0.5\frac {l}{min^4}t^3+0.2\frac {l}{min^3}t^2+4\frac{l}{min} \dd t \end{eqnarray*}$

ich hätte keine Lust das mit Einheiten zu rechnen.

03.08.2011, 18:41

Dopap

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zum Abschluss:

Das erste Doppelintegral war "physikalisch" gedacht und wohl nur numerisch auszuwerten.

Das zweite Dreifachintegral in Kugelkoordinaten enthielt als Funktionaldeterminante das Volumenelement.

$\begin{eqnarray*} J_K= 4 \int_0^R \int_0^{\frac \pi 2} \int_0^{\pi} (r\cos \beta)^2(R-r) r^2 \,\dd \lambda \,\dd \beta \,\dd r = \frac {R^6\pi^2}{30} \end{eqnarray*}$

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