homotop zu Polygonzug

01.08.2011, 14:15

Gast11022013

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homotop zu Polygonzug

Meine Frage:
Hallo!

Es sei $\begin{eqnarray*} U \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} p,q\in U \end{eqnarray*}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray*} \alpha:[0,1]\to U \end{eqnarray*}$ eine stetige Kurve von p nach q.

Ich soll nun zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zu einem Polygonzug in U von p nach q homotop ist.

Wie macht man das?

Meine Ideen:
Homotop bedeutet, daß ich die Kurve mittels einer Homotopie in den Polygonzug "deformieren" kann.

Mehr weiß ich nicht.

01.08.2011, 16:01

Luis77

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RE: homotop zu Polygonzug
ich weiß keine antwort, möchte die frage aber gerne etwas genauer stellen

die frage richtet sicht nicht an den fragesteller, sondern an alle, die hier klüger sind als er und ich:

ist die frage so zu verstehen, dass man jeweils eine homotopie konkret angeben soll, die ein kurvenstück in die dazu "gehörige" gerade des polygonzugs "umwandelt"?

man wird ja wohl kaum für die ganze kurve eine homotopie angeben können?

01.08.2011, 16:17

Gast11022013

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RE: homotop zu Polygonzug
Also ich antworte trotzdem mal. Big Laugh

Big Laugh

Ich verstehe das so, daß man die Kurve $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mittels einer Homotopie in den Polygonzug deformieren soll und das kann man wohl nur pro Abschnitt.

Also muß man man wohl eine Homotopie finden, die das abschnittsweise macht.

Ich habe dabei aber das Problem, eine solche Homotopie konkret anzugeben. Ich nehme an, daß man das hier wohl muß und daß das irgendwie mit der Definition des Polygonzugs zu tun hat:

Die Eckpunkte einer Gerade sind ja Punkte $\begin{eqnarray*} \alpha(t_j) \end{eqnarray*}$ .

Also, wenn ich den Polygonzug jetzt mal mit P bezeichne, wäre doch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} P:=\kappa \alpha(t_j)+(1-\kappa) \alpha(t_{j-1}) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt müsste man halt eine Homotopie H finden, wo halt

$\begin{eqnarray*} H(0,t)=\alpha \end{eqnarray*}$ , also die Kurve $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} t_{j-1} \end{eqnarray*}$ und dem Endpunkt $\begin{eqnarray*} t_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H(1,t)=P \end{eqnarray*}$ also die Gerade des Polygonzugs, die $\begin{eqnarray*} t_{j-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_j \end{eqnarray*}$ verbindet.

Aber erstens weiß ich doch gar nicht, ob es solche Punkte überhaupt gibt und zweitens müsste ich wahrscheinlich schon eine konkrete Abildung nennen, die das alles erfüllt. verwirrt

verwirrt

01.08.2011, 16:55

Luis77

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RE: homotop zu Polygonzug
ah okay, hab nochmal drüber nachgedacht und ist wohl doch gar nicht so schwer.

schau dir mal diese abbildung an:

$\begin{eqnarray*} h(s,t):=\alpha(t)-s\cdot (p(t)-\alpha(t)) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ deine kurve von p nach q und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der polygonzug sein soll

das ist eine homotopie [eigenschaften kannst du ja selbst nachprüfen!]

naja, eigentlich musst du noch nachweisen, dass es diesen polygonzug überhaupt gibt, also diese stützpunkte bzw. die unterteilung existiert. weiß aber nicht, ob die aufgabe das verlangt.

01.08.2011, 17:29

Gast11022013

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Okay!

Dann ist jedenfalls

$\begin{eqnarray*} h(0,t)=\alpha(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(1,t)=p(t) \end{eqnarray*}$ .

Und die restlichen Kurven wuseln dazwischen herum.

Wie es bei einer Homotopie sein soll! Freude

Freude

Dankeschön!

01.08.2011, 21:30

Airblader

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Jetzt hast du/habt ihr gezeigt, dass es einen Polygonzug gibt, indem du/ihr angenommen hast/habt, dass es einen Polygonzug gibt. Der Fehler in dieser Logik sollte eigentlich auffallen.

Man könnte das schon daran merken, dass es zu diesem Zeitpunkt völlig egal wäre, was das p(t) ist. Kurzum: Es wäre nach dieser Argumentation zu jeder (stetigen) Funktion homotop. Auch daran, dass die Offenheit nicht benutzt wurde, könnte man sehen, dass irgendwas vielleicht noch nicht stimmig ist.

Die Frage, wieso es überhaupt einen Polygonzug gibt, ist nämlich noch nicht beantwortet. Das Wichtige ist nämlich: Der Polygonzug muss in U liegen!

Ich bin leider nicht sehr firm in der Topologie, aber ein ganz spontaner Gedanke dazu, wenn U nicht offen sein muss: Sei $\begin{eqnarray*} U = \{(x, x^2) : x \in [0,1]\} \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p = (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = (1,1) \end{eqnarray*}$ . Die stetive Kurve $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bildet sich gerade durch die Normalparabel.
Wie sähe hier denn ein Polygonzug aus, der wirklich in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt?

air

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01.08.2011, 21:48

Gast11022013

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Ich habe keine Ahnung, worauf Du hinaus möchtest.

Ich verstehe auch nicht, wie man zeigen kann, daß es einen solchen Polygonzug überhaupt gibt. unglücklich

unglücklich

01.08.2011, 21:54

Airblader

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Ich habe das U so klein wie möglich gewählt. Genauer gesagt: Das U entspricht gerade der Kurve $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Es gibt also überhaupt nur einen möglichen Weg von p nach q (nämlich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ selbst), aber dies ist kein Polygonzug.
Soll heißen: In diesem Raum gibt es keinen Polygonzug, zu dem die Kurve homotop ist.

Allerdings ist mein Raum ja nicht offen. Worauf ich also hinauswollte: Die Offenheit von U ist ganz offenbar wesentlich für die Gültigkeit des Satzes. Da in euerm "Beweis" nirgendwo die Offenheit eingeht, kann er gar nicht vollständig sein.

Gezeigt hast du: Wenn es einen Polygonzug von p nach q in U gibt, dann ist die Kurve homotop dazu. Der Teil ist aber nun wirklich trivial (darum der kurze Beweis). Wichtiger ist eben zu zeigen, dass es auch tatsächlich einen Polygonzug gibt, der vollständig in U liegt.
Ich muss aber aufpassen, mich hier nicht zu verplappern. Wie gesagt, Topologie ist nicht gerade mein Steckenpferd.

air

01.08.2011, 21:58

Gast11022013

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Okay, soweit kann ich folgen.

Nun frage ich mich natürlich, wie man die Existenz denn beweisen könnte.
Leider habe ich keinen blassen Schimmer!

Gibts einen Hinweis?

01.08.2011, 22:16

Airblader

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Vielleicht hilft es dir klarzumachen, wie das Ganze eigentlich aussieht. Da wir einen stetigen Weg haben, von welchem jeder Punkt in U liegt, haben wir wegen der Offenheit sofort eine Art "Tunnel" um diesen Weg herum.

Starte zum Beispiel in p. Wegen der Offenheit gibt es eine Kugel mit Radius r_1 um p herum, die in U liegt. Nimm nun den von p verschiedenen Schnittpunkt* mit der Kurve, auch hierzu gibt es eine Kugel, mit Radius r_2 et cetera. Führt man dies fort, so erhält man ein System von Kugeln, deren Vereinigung die Kurve überdeckt und die komplett in U liegt -- das ist also der "Tunnel".
Angenommen, wir haben, wenn wir bei q ankommen, nur endlich viele solcher Schnittpunkte benötigt ... wie kannst du dann den Polygonzug konstruieren (Skizze hilft)?

Die Frage wäre dann noch: Brauchen wir wirklich immer nur endlich viele Schnittpunkte und wenn ja, wie lässt sich dies begründen?

*) Es wäre denkbar, dass es mehrere Schnittpunkte gibt. Ich meine denjenigen, der 'als nächster' dran ist, wenn man die Kurve von p aus entlangläuft.

Das war nun lediglich mein erster Gedanke. Ohne Gewähr und vor allem ohne Garantie, dass es nicht auch viel leichter geht. Big Laugh

Big Laugh

Edit: Achso .. und ohne Garantie, dass es klappt. Wie gesagt, war nur meine erste Idee.

air

01.08.2011, 22:24

Gast11022013

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Zitat:

Original von Airblader
Angenommen, wir haben, wenn wir bei q ankommen, nur endlich viele solcher Schnittpunkte benötigt ... wie kannst du dann den Polygonzug konstruieren (Skizze hilft)?

Ich würde sagen, daß man die Mittelpunkte der Kugeln verbinden könnte durch Geraden und dann einen solchen Polygonzug hätte. Im Grunde könnte man auch jeden zweiten oder jeden dritten Mittelpunkt nehmen.

Zitat:

Original von Airblader
Die Frage wäre dann noch: Brauchen wir wirklich immer nur endlich viele Schnittpunkte und wenn ja, wie lässt sich dies begründen?

Das ist eine gute Frage...

Reinintuitiv würde ich sagen: Ja, es sind immer nur endlich viele Schnittpunkte, weil ja die Kurve abgeschlossen und auch beschränkt ist.
verwirrt

verwirrt

01.08.2011, 22:36

tmo

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Die Existenz eines Polygonzugs wurde doch hier schon bewiesen.

Ich sehe gerade, dass wir in dem Thread noch nicht fertig waren. Gibt es denn dazu noch Unklarheiten? Dann poste nochmal in den anderen Thread. Ich würde dir hiermit quasi einen Doppelpost erlauben Big Laugh

Big Laugh

Ich sehe übrigens bei dem Beweis der Homotopie durchaus noch das Problem, dass man zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} H(s,t) \end{eqnarray*}$ wirklich immer in U landet. Da ist es dann schon von Relevanz, dass man nicht irgendeinen Polygonzug nimmt. Im Allgemeinen reicht da noch nicht mal der Polygonzug aus dem Beweis.

01.08.2011, 22:39

Gast11022013

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Stimmt!!

Da hatte ich das ja schonmal!

Ganz vergessen!

01.08.2011, 22:44

Airblader

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich würde sagen, daß man die Mittelpunkte der Kugeln verbinden könnte durch Geraden und dann einen solchen Polygonzug hätte.

Freude

Jetzt hatte ich gerade selbst bewiesen, warum es nur endlich viele Punkte gibt und nun brauchen wir's nicht mehr. traurig

traurig

Big Laugh

Mein Argument ist ganz simpel: [0,1] ist kompakt in IR, die Kurve stetig und damit ist das Bild der Kurve kompakt in U. Klar ist, dass man jedem Punkt der Kurve einen Radius zuweisen kann, so dass die entspr. Kugel in U liegt. Wegen der Kompaktheit können wir aus dieser Überdeckung von U nun eine endliche Teilüberdeckung auswählen - fertig.

air

01.08.2011, 22:53

Gast11022013

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Nochmal zu Deinem Argument:

Wieso kann man aufgrund der Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung auswählen?

Das ist gerade die Definition von kompakt - richtig?

"Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung (d.h. Überdeckung durch offene Teilmengen) eine endliche Teilüberdeckung besitzt."

"Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt."

Und also kommt man immer mir endlich vielen Schnittpunkten aus und hat die Existenz eines solchen Polygonzugs, der in U enthalten ist.

01.08.2011, 23:00

Airblader

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Genau. Jetzt gilt es natürlich noch, diese anschauliche Argumentation sauber formal aufzuschreiben.

air

01.08.2011, 23:03

Gast11022013

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Besten Dank, insbesondere auch, weil ich mich schon fertig wähnte!

Wink

Wink

01.08.2011, 23:07

Airblader

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Ja, das ist immer eine große Gefahr. Der Tipp meines Professors im ersten Semester:

Voraussetzungen sind selten überflüssig. Solange man nicht jede Voraussetzung verbraten hat, ist die Gefahr groß, einen fehlerhaften oder unvollständigen Beweis geführt zu haben.

Davon gibt es aber Ausnahmen. So hatten wir in Statistik einen Satz mit zig Voraussetzungen, von denen praktisch alle redundant waren .. die meisten könnten sogar ersatzlos gestrichen werden. Big Laugh

Big Laugh

air

02.08.2011, 16:24

Gast11022013

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Ein guter Hinweis, finde ich.

Ich mache nämlich genau diesen Fehler sehr oft, daß ich irgendwelche Angaben/ Informationen völlig ungenutzt lasse.

Wink

Wink

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