rang einer Komposition

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jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »
rang einer Komposition
Hallo Leute.


hänge hier total an einer Aufgabe fest. Bitte helft mir Big Laugh

Aufgabe : Seien K-lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen K-Vektorräumen.
Zeige :






Was ich bisher habe :

Nun es ist ja klar, dass rg(f) <= dim V2 ist. Das fällt also weg.

Wie zeige ich nun folgendes :


Was eine Komposition ist, ist mir klar.
Kann ich die Komposition auseinanderziehen?




Bitte helft schnell sitze grad in der Bibliothek und der Akku vom Laptop macht gleich schlapp Big Laugh
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Meine erste Frage erstmal, meinst Du mit k-lineare Abbildungen Multilinearformen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Eine -lineare Abbildung ist einfach eine lineare Abbildung eines - in einen zweiten -Vektorraum.

Zitat:
Original von jaxxon
Wie zeige ich nun folgendes :

Das ist i.A. falsch. Es gilt:





.

Wenn man das einsetzt, kommt vielleicht eine etwas einfachere Ungleichung raus.

Gruß MSS
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht es mit der Beziehung zwischen:



aus?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine
Dein Post macht keinen Sinn. Du addierst zwei Mengen und willst zwischen dieser Summe und einer weiteren Menge dann noch was für ein Zeichen haben? verwirrt

Gruß MSS
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS: ich meinte den defekt, sry
 
 
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

defekt ?? was soll das denn sein ? Klappt hier ein Symbol nicht ? Oder gibt es das wirklich ?

Ok also das ich einfach auf der Linken Seite der Ungleichung rg(f) einfach weg lasse, da rg(f) <= dimV2 ist, kann ich nicht machen ?

Nungut ich setze einfach mal ein was du mir gegeben hast es folgt :



Nachdem ich dann rauskürze bleibt :



Tja und weiter geht es da schon nicht mehr ich würde da sogar schon sagen das die linke Seite größer als die Rechte ist.

Hab ich was falsch gemacht ?

Edit : Hab defekt mal nachgeschlagen hoffe man kann diese Aufgabe auch ohne defekt lösen da wir das noch nicht hatten


mfg Jaxx
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

defekt ist die Dimension des Kerns einer Linearen Abbildug, sowie der Rang die Dimension ihres Bildraumes ist. Laut Dimensionsformel für endl. dim VR gilt:

jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Warum war meine erste Abschätzung denn Falsch?
Weiter kürzer oder umformen geht im zweiten Versuch nicht.
Defekt darf nicht benutzt werden.
Tjo was bleibt da noch ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sie war nicht falsch, es war nur keine Äquivalenzumformung und die Anwendung bringt dir einfach nichts, weil du die zweite Ungleichung nicht beweisen kannst.
Und ob du das Ding nun oder nennst, ist ja egal.

Gruß MSS
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nungut ich setze einfach mal ein was du mir gegeben hast es folgt :



Nachdem ich dann rauskürze bleibt :



Nun das Problem ist doch aber, dass ich nichts genaues über sagen kann. Zumindest kann ich es nicht abschätzen.

Oder hey sekunde mal....
Die noch verbliebene Ungleichung sagt doch aus :

Also ich rechne * - 1 :



Das bedeutet doch die Anzahl der Elemente die von f auf 0 abgebildet werden + die Anzahl der Elemente die von g auf 0 abgebildet werden <= der Anzahl der Elemente ist, die von der Komposition von (g o f) auf die 0 abgebildet werden.

Nun da die Koposition (g o f) nur bedeutet g(f(x)) muss doch gelten :





Hoffe das das so stimmt ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mit multiplizierst, musst du das Relationszeichen umdrehen:

.

Und dass da Gleichheit gilt, stimmt absolut nicht! Außerdem geht es nicht um die Anzahl der Elemente, sondern um die Dimension.

Gruß MSS
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »








Behauptung



Ansatz

fragender Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Eine -lineare Abbildung ist einfach eine lineare Abbildung eines - in einen zweiten -Vektorraum.

Zitat:
Original von jaxxon
Wie zeige ich nun folgendes :

Das ist i.A. falsch. Es gilt:





.

Wenn man das einsetzt, kommt vielleicht eine etwas einfachere Ungleichung raus.

Gruß MSS


Wie kommt man denn darauf?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dimensionsformel lin abbildung zwischen endl. dim vR
wwu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine







Behauptung



Ansatz



das klingt doch shcon mal ganz gut, aber das letzte Gleichheitszeichen im Ansatz versteh ich nich. Ist das wirklich so?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe beim letzten zeichen nur




benutzt.

Wobei man dann wieder auf die Frage kommt, ob gilt:



wobei ich hier meine Fragezeichen von vorhin schon aufgelöst habe Augenzwinkern
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Antwort auf deine Frage doch zitiert :

Zitat:
.


Stell das nach dim(V1) um und deine Frage ist beantwortet


Edit : Mist bist echt ne flotte "Bine" traurig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wenn erstmal der Tiger in ihr geweckt ist Augenzwinkern Wie sieht es jetzt aus, bekommst Du die Aufgabe raus?
wwu Auf diesen Beitrag antworten »

hatte wohl Tomaten auf den Augen Augenzwinkern
reicht es denn schon, wenn ich zum Schluss stehen hab?
sry, kenn mich nich latex nich aus
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht wirklich leider,

also dein Ansatz

Zitat:


gilt es ja weiter umzuformen um auf die erste Ungleichung zu kommen.
Und da fehlt einfach irgendwas ist kann ja sagen :



aber das bringt mich nicht wirklich weiter unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Es ist dann:



wenn:



oder



@wwu: ich habe das als zu beantwortente Frage geschrieben. Nicht als Lösung!
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn:



oder




Hmm ok also das ist ja das einzige was noch zu zeigen ist.
Ich würde es ja jetzt begründen weil ich keine Ahnung hab wie man das mathematisch zeigen kann.
Argumentativ bedeutet das doch nur :
Links steht die Komposition also wird g(f(x)) ausgeführt.
G bekommt so quasi ja nur die von f auf den Kern abgebildeten Vektoren.

Auf der rechten Seite existiert diese Einschränkung ja nicht also ist sie größergleich.



So nur noch rausfinden wie man das beweist ^^
fragender Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
.


Kann das immer noch nihct nachvollziehen. Ist das denn wirklich so bzw. wie komm ich denn darauf?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

nennen wir die lin. Abbildung g°f mal h. Dannt bildet h wie folgt ab:



Fomrulier mir die Dimensionsformel für entl dim VR
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »




Für die rechte Seite der Ungleichung gilt aber :




daher gilt die Ungleichung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt blivk ich grade nicht durch unglücklich
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



Das müssen wir doch zeigen nicht ?
Dann sind wir hoffentlich fertig.


Gut ich mach nochmal step by step hab da bestimmt was durcheinander gebracht.


Zitat:
nennen wir die lin. Abbildung g°f mal h. Dannt bildet h wie folgt ab:



Fomrulier mir den Dimensionssatz für entl dim VR




tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



Ja, das gilt es zu zeigen. Die Funktion h hatte ich eigentlich für "fragender" eingeführt, da er die dritte anwendung der Dimensionsformel nicht verstanden hatte. Siehe

Zitat:

.


Sorry, ich hatte Satz statt formel geschrieben.
jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hmm ok also das ist ja das einzige was noch zu zeigen ist.
Ich würde es ja jetzt begründen weil ich keine Ahnung hab wie man das mathematisch zeigen kann.
Argumentativ bedeutet das doch nur :
Links steht die Komposition also wird g(f(x)) ausgeführt.
G bekommt so quasi ja nur die von f auf den Kern abgebildeten Vektoren.

Auf der rechten Seite existiert diese Einschränkung ja nicht also ist sie größergleich.



So nur noch rausfinden wie man das beweist ^^



Also bei der Aussage bleibe ich. Stimmt das denn so ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. g bekommt eben die Bilder der Vektoren, die nicht auf die Null abgebildet werden.

jaxxon Auf diesen Beitrag antworten »

achso und da defekt(f) + defekt(g) quasi jeweils alle Vektoren bekommen muss die Menge größer gleich sein
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll mir das denn jetzt sagen? defekte sind Dimensionsangaben, die bekommen keine Vektoren. ebenso müssen nicht alle Vektoren auf Null abgebildet werden!?










Es gilt nun sicherlich:

, d.h.

D.h. wir müssen uns mit den Vektoren v beschäftigen, die nicht im Kern(f) liegen.
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