DGL-System 2.Ordnung

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stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »
DGL-System 2.Ordnung
Hallo,

ich verzweifele mal wieder an einer DGL-Aufgabe.

Diese lautet:



Mit folgenden Anfangswerten:




Nun wandele ich erstmal in ein System 1. Ordnung um:



Daraus leite ich diese Matrixschreibweise her:



Nun lautet ein Lösungsverfahren für



Folgendermaßen:



Da mein b(t) ja null und mein t_{0} auch null ist, folgt:



Jetzt muss ich allerdings noch exp(tA) ausrechnen. D.h. erstmal Eigenwerte der Matrix, etc. Mit den allgemeinen Werten, die da drin stehen, wird das ja höllisch kompliziert. Habe zwar versucht, welche auszurechnen, aber das wird nun wirklich nicht schön.

Wie gehe ich also an diese Aufgabe heran?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Du musst eigentlich nur von



A die Eigenwerte berechnen. Dies ist nicht sonderlich schwer, du kannst ja substituieren:





Denn es gilt ja:





wobei Lambda natürlich die Eigenwerte sind!

Versuchs mal so, du musst eigentlich keine Exponentialfunktion von der Matrix A bilden sondern eben von dieser die Eigenwerte ausrechnen!

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Das Substituieren haben ich auch gemacht,

nämlich so:



Mein charakteristisches Polynom sieht dann schon so aus:



als Eigenwerte habe ich dann raus:



Jetzt kriege ich die Wurzel nicht weg. Und dann wird das doch ziemlich kompliziert. Ich kann mir kaum vorstellen, dass die Aufgabe so ausschweifen soll...
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einfachere und schönere Eigenwerte heraus!
Du hast dich bei der Determinante anscheinend verrechnet und zwar beim Faktor vor dem Lambda. Außerdem ist es nicht so gut, wenn du Lamda mit Lamda substituierst, mach das z:=lambda², dann löst du nach z auf und hast dann 4 Lösungen für lambda!

Also nochmal nachrechnen.

Gruß

Johnsen
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Mir ist noch ein Fehler aufgefallen, es müsste anstatt:



so heißen:



Du hast ja das - ausgeklammert und es gilt für den gesamten Zähler!

Aber sollte nichts an den Eigenwerten ändern, ist ja nur dann anders definiert das s.

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, schonmal danke. Das mit dem Vorzeichenfehler ist korrigiert Aber:

Ich habe jetzt folgende Matrix:



Durch vertauschen von Zeile 1 mit 3 und Zeile 2 mit 4 bleibt die Determinante ja gleich. Neue Matrix:



Die zweite Zeile hat noch eine nicht-0 zu viel. Daher ziehe ich von der zweiten Zeile das -(r/s)-Fache von der ersten ab. Dann hab ich:



Jetzt muss ich ja



bilden.

D.h. mein char. Polynom wird:



Oder check ich jetzt die Eigenwertberechnung nicht mehr?

P.S.Wo meinst du eigentlich substituiere ich Lambda mit Lambda?
 
 
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Das darfst du so nicht machen!! Zwar kannst du so die Determinante ausrechnen, aber nicht bei Eigenwertproblemen.

Dazu ein einfaches Beispiel, die Einheitsmatrix:



davon wollen wir die Eigenwerte berechnen:





Also ist 1 doppelter Eigenwert!

nun vertauschen wir die Zeilen (wie du es gemacht hast!):



Nun auch hiervon die Eigenwerte:





Hier hat die Matrix also 2 verschiedene Eigenwerte!

ich hoff du siehst an diesem leichten Bsp., dass du nicht die Zeilen einfahc so vertauschen darfst.

mein Tipp für deine Aufgabe:



Entwickle mit Laplace nach der 4. Spalte, dann kommt man zum richtigen Ergebnis!

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich nach LaPlace versucht, und bekomme jetzt:



Bin mir aber nicht sicher. Nach Laplace heißt es für die Entwicklung nach der
j-ten Spalte:



Aber was ist



???

Ich habe dafür einfach



eingesetzt
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wird es an einem Beispiel berechnet, du "streichst" quasi die Zeile und die Spalte 4 und berechnst von der "übriggebliebenen" Matrix die Determinante.

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...ntwicklungssatz

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich habe ich das verstanden! Wollte diese Entwicklung eh schon immer kappieren.

Dann habe ich also:



Daher auch deine Substitution mit z, wa?

Demnach:

Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

also um ehrlich zu sein ist das wieder nicht so ganz richtig. Das r kürzt sich nicht vollständig heraus z.b und das char. Polynom stimmt noch nicht so ganz!
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich hab auch im Post zuvor vergessen, dass du natürlich nach der 1 auch entwickeln musst! Denn in der 4. Spalte steht ja eine 1 und eben das - Lambda!

also streichst du einmal Spalte 4 und Zeile 2 und dann Spalte 4 und Zeile 4.

Gruß

Johnsen
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeig dir mal wie man das ausrechnet:



Wir entwickeln alles nach der 4. Spalte. Die 0en helfen uns, da sie ja nach der Laplace-Formel keinen Beitrag liefern!



Die 3x3 Determinanten kann man ja angenehm mit Sarus lösen. Man sieht also, dass quasi immer eine Zeile und eine Spalte gestrichen wurden.

Ich hoffe du kannst dies mit dem Laplace Entwicklungssatz nun nachvollziehen!

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt, ich bin neuling bei LaPlace^^

Jetzt hab ich:



Und damit:

Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

da muss dir ein kleiner Vorzeichenfehler unterlaufen sein, die lambda² dürfen sich nicht wegheben! Es mus dann am Ende herauskommen. Sonst aber alles richtig! Vielleicht nur ein kleiner Flüchtigkeitsfehler?
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Herr je, ich hab bei der Determinante bei auslassen der 4.Zeile und 4.Spalte nen Vorzeichenfehler.

Das schaffe ich immer bei Determinanten-Berechnung. Wie soll das nur was werden mit der Prüfung? unglücklich

Jetzt habe ich folgende 4 Eigenwerte:



D.h. daraus jetzt für alle lambda



berechnen? Erscheint mir immernoch kompliziert..
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Deine Eigenwerte stimmen immer noch nicht ganz! Du musst auf folgendes Ergebnis kommen:



schau mal, dass du auf dieses Ergebnis kommst!

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Moment.

Wenn



als Charakteristisches Polynom rauskommt. Dann ist doch mein q = (s^2-r^2) in der p-q-Formel. Und das ist ne Wurzel, die sich nicht weiter auflösen lässt. Bei dir entfällt die Wurzel aber...?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt kommt meine besagte Substitution:







Ich berechne das nicht mit p-q Formel, sondern mit der Lösungsformel. Aber man sieht, dass hier die Wurzel sogar sehr schön wegfällt!!

Zeig mal deine komplette p-q Formel, da muss der Fehler drinstecken!

Gruß

Johnsen
stevewilson Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so habe ich das jetzt auch gerechnet. Allerdings. Du hast als Lösung geschrieben:



Mit der Lösung für z, die wir jetzt beide
haben gibt das aber:



Richtig?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast natürlich recht! Ein kleiner Fehler meinerseits.

die 4 Eigenwerte lauten also:



Nun gehts an die Eigenvektoren, die aber nicht allzuschwer zum lösen sind!

Gruß

Johnsen
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