Theorie partieller Differentialgleichungen

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akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
Theorie partieller Differentialgleichungen
Hi=(
ich habe ein ziemlich großes Problem mit meiner Seminararbeit, die ich über den Sommer anfertigen soll. Das Thema lautet "Leben und Werk von Sofia Kowalewskaja". Das Leben habe ich soweit erledigt. Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich das Werk angehen soll. Das Werk ist beschränkt auf Sofias Dissertation "Theorie partieller Differentialgleichungen". Dass wiederrum soll ich in zwei Abschnitte teilen. Einmal soll ich allgemeine Begriffe zu Differentialgleichungen erläutern und es soll max. 2 Seiten betragen. Jetzt kommt der schwere zweite Teil, der max. 6-7 Seiten beinhalten soll. Ich soll hier erläutern womit sich Sofia in ihrer Arbeit beschäftigt hat, wie sie diese Probleme gelöst hat(teilw. Potenzreihen).

So und jetzt zu meinem Problem. Das einzige was mir zur Hand liegt ist ihre Arbeit und ein Buch in der die Arbeit aufgearbeitet wird. Die Aufarbeitung aus dem Buch ist jedoch weiterhin ziemlich schwer zu verstehen. Ich vermute auch schon, dass es sich wohl nicht wirklich einfacher gestalten lässt, aber meine Lehrerin meinte ich soll nach "Behandlungen ihrer Arbeit" im Internet suchen. Sie meinte, sie wisse, dass es solche Behandlungen/Aufarbeitungen gäbe. Ich finde aber nichts!!! Wie soll ich denn das weiter angehen? Hat sich jemand zufällig mit dieser Arbeit schon mal beschäftigt^^. Der zweite Teil soll maximal 5-7 Seiten betragen und ich weiß nicht worüber ich schreiben soll, auch wenn ich mich zum Thema DGL schon umfassend informiert habe. Aus ihrer Dissertation selber erkenne ich die Probleme nicht, das ist viel zu kompliziert gestaltet. Ich bräuchte eine "einfache" Zusammenfassung des Themas. Kann mir da jemand helfen? Gibt es so etwas?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Hallo,

über DGL wirklich "umfassend" informiert zu sein, dürfte nicht ganz einfach sein; das Gebiet ist einfach zu groß. Insofern bin ich da bei deiner Aussage eher skeptisch.

Zu einem Seminar gehört eine gewisse Menge an Research (erfordert deutlich mehr Aufwand als ein Schulaufsatz oder ein Proseminar), versuche es also weiter im Internet und gucke auch mal in eine Bibliothek. Und erwarte nicht, dass du immer und unmittelbar weiterkommst, feststecken gehört auch dazu.

Ich habe die fragliche Diss. noch nicht gesehen, aber sie hat sicher ein Inhaltsverzeichnis und hinten eine Zusammenfassung. Führt das weiter und gibt Hinweise? Irgendwo muss ja schon an prominenter Stelle stehen, welche Fragen untersucht wurden. Auf welche Literatur bezieht sie sich und was wird dort behandelt?

Notfalls gehe halt Kapitel für Kapitel vor. Was ist mit ihren anderen Arbeiten, das mit den Saturnringen usw. ?

Abakus smile
 
 
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
hihi,
mensch ich freue mich das jemand so schnell geantwortet hat.

Das mit dem umfassend war erstmal ausschließlich auf gewöhnliche DGL bezogen. Auf Ebene der partiellen DGL weiß ich noch nicht viel, nur das Sofia versucht hat diese mit Hilfe von Potenzreihen zu lösen.
Also ihre Arbeit ist genau so geschrieben wie ich ich mir nicht vorstelle.=(

Habe vergesen den Link der Arbeit zu posten, aber HIER ist die Arbeit- sehr unlustig.
Das mit dem Seminar klingt bei uns nach mehr als es ist. Es ist nur eine Hinführung zum wissenschaftlichen arbeiten. Kann ja auch nicht sein das ich mich mit Hochschulmathematik befasse und andere über transsibirische Eisenbahn schreiben.Big Laugh

Zur Sofia selber habe ich schon einige Bücher, aber nur eins in dem der mathematische Teil (und das ist genau der Teil über den ich schreibe-eigentlich klasse!) aufgearbeitet wird. Es heißt "Ein Leben für die Mathematik und Emanzipation" und ich wollte mir den Mathe-Teil jetzt nochmal kurz durchlesen=)
Naja eben so eine Stelle wie du es geschrieben hast finde ich eben nicht. Dennoch meine mein Lehrer es gäbe "genug" (hmmmm).

Das mit dem Kapitel für Kapitel, ist einfach zu schwer, weil mir einfach die Grundlagen fehlen. Bei jeder mathematischen Bezeichnung frage ich mich was das zu bedeuten hat- dann darf ich erstmal ganzen Tag googeln und finde nichts.

Saturnringe sind ausgeschlossen, geht ausschließlich um die part. DGL.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich finde diese Dissertation nicht unlustig sondern sehr interessant, danke für den Link! Aber ich bin auch kein Schüler, sondern beschäftige mich im Studium hauptsächlich mit Differentialgleichungen Augenzwinkern

Ich gehe mal davon aus, dass dir schon der erste Satz der Einleitung ihrer Arbeit Probleme bereiten könnte. Wobei, ich seh grade, auf der ersten Seite geht es noch im gewöhnliche Differentialgleichungen.

Hinzu kommt, dass dieser Text nicht in zeitgenössischem Deutsch verfasst worden ist. Ich kenn das. Es macht die Sache nicht einfacher. Ich musste für meine Facharbeit auch mal einen Originaltext von Euler lesen, da es dazu keine anderen, einfach zugängliche Quellen gab. (Gut dass ich ein Reclambuch von Anfang des 20. Jahrhunderts fand, indem der Text stand. Ja Reclam, die mit den gelben Heften, haben vor hundert Jahren auch mathematische Texte veröffentlicht. Aber das nur am Rande).

Das Leben von ihr ist ja echt sehr interessant. Man kann wunderbar darüber berichten, wie sie als Kind in einem Zimmer lebte, das mit mathematischen Werken tapeziert war und sie so die Lust darauf bekam. Ihr Weg nach Deutschland, zurück nach Russland, Professur in Schweden, glaub ich. Da kannst du viele Seiten füllen.

Dann zu ihrer Arbeit. Ich kenne bis dato nur das Cauchy-Kowalevski-Theorem. Dazu findet man, meiner Erfahrung nach, aber eher englische als deutsche Quellen. Du solltest somit deine Suche auch aufs Englische ausweiten. Wobei ich fürchte, dass dich dieser Satz als Schüler schon überfordern wird. Er steht wirklich in keinem Vergleich zur Transsibirischen Eisenbahn Augenzwinkern
Ich bin mir nicht sicher, in wie weit es dir hilft, ihn auf gewöhnliche DGL herunterzubrechen.

Am besten sprichst du mit deinem Lehrer. Dann mach die paar Seiten zur Erklärung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Das schafft man als Schüler schon. Am besten schreibst du was über Lösungen und Lösungswege. Und schreibst dann was zu der Lösung mittels Potenzreihen. Da gibt es auch für gewöhnliche DGL ein paar recht leicht verständliche Beispiele, die man einbringen/vorrechnen könnte.
Sollte es allerdings darüber hinausgehen, halte ich das für meinen Teil allerdings für einen Schüler ohne Vorwissen für zu schwierig. Denn du wirst ohne sehr! viel Arbeit nicht mehr als stupide abschreiben können.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Erwähnenswert ist noch, das Sofia Kowalewskaja einen Spezialfall der Kreisel-Bewegung analytisch gelöst hat.

Zum Beispiel kann man die beiden 25 km und 15 km großen Marsmonde "Phobos" und "Deimos" als unsymmetrische Kreisel betrachten, da sie nicht kugelförmig sind, sondern aussehen wie "Kartoffeln". Das führt zu einem chaotischen "Torkeln", das auch mit heutigem Wissen kaum längere Zeit vorhersagbar ist.

Kowaljewskaja berechnete erstmals die Bewegung eines speziellen symmetrischen Kreisels, wo das 3.Hauptträgheitsmoment doppelt so groß ist wie die beiden anderen, die wegen der Symmetrie identisch sind.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
Also ich finde diese Dissertation nicht unlustig sondern sehr interessant, danke für den Link! Aber ich bin auch kein Schüler, sondern beschäftige mich im Studium hauptsächlich mit Differentialgleichungen Augenzwinkern

Für mich ist das dennoch ein tragisches Thema=)

Zitat:
Original von chrizke
Ich gehe mal davon aus, dass dir schon der erste Satz der Einleitung ihrer Arbeit Probleme bereiten könnte. Wobei, ich seh grade, auf der ersten Seite geht es noch im gewöhnliche Differentialgleichungen.

Den Anfang kann ich schon überblicken. Das ist ja nur ne kleine Einführung. Ab Seite 5 geht es ja mal richtig los=( und dann hat der Spaß a brems!

Zitat:
Original von chrizke
Hinzu kommt, dass dieser Text nicht in zeitgenössischem Deutsch verfasst worden ist. Ich kenn das. Es macht die Sache nicht einfacher. Ich musste für meine Facharbeit auch mal einen Originaltext von Euler lesen, da es dazu keine anderen, einfach zugängliche Quellen gab. (Gut dass ich ein Reclambuch von Anfang des 20. Jahrhunderts fand, indem der Text stand. Ja Reclam, die mit den gelben Heften, haben vor hundert Jahren auch mathematische Texte veröffentlicht. Aber das nur am Rande).

Das ist doch aber nicht weiter tragisch, weil sich die meisten Wörter sowieso erschließen. Das "hülfs-" "hilfs-" bedeutet ist ja nicht so schwer zu erkennen und die mathematischen Begriffe habe sich ja kaum verändert.

Zitat:
Original von chrizke
Das Leben von ihr ist ja echt sehr interessant. Man kann wunderbar darüber berichten, wie sie als Kind in einem Zimmer lebte, das mit mathematischen Werken tapeziert war und sie so die Lust darauf bekam. Ihr Weg nach Deutschland, zurück nach Russland, Professur in Schweden, glaub ich. Da kannst du viele Seiten füllen.

Da sagst du was=) Ich könnte allein 15 Seiten Biographie schreiben aber diese muss sich auf ca 5 beschränken. Ich war bei 8 und musste es so auf 5 kürzen=(

Zitat:
Original von chrizkeDann zu ihrer Arbeit.

Oh nein.... traurig

Zitat:
Original von chrizke
Ich kenne bis dato nur das Cauchy-Kowalevski-Theorem. Dazu findet man, meiner Erfahrung nach, aber eher englische als deutsche Quellen. Du solltest somit deine Suche auch aufs Englische ausweiten. Wobei ich fürchte, dass dich dieser Satz als Schüler schon überfordern wird. Er steht wirklich in keinem Vergleich zur Transsibirischen Eisenbahn Augenzwinkern

Ja das Theorm ist in meinem zu behandelnden Werkabschnitt(Theorie part. DGL) enthalten. Wenn ich das ausarbeite komme ich wohl nicht drum herum das Theorm zu erwähnen.

Zitat:
Original von chrizke
Am besten sprichst du mit deinem Lehrer. Dann mach die paar Seiten zur Erklärung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Das schafft man als Schüler schon. Am besten schreibst du was über Lösungen und Lösungswege.

Das hab ich schon alles hinter mir. Habe auch ein kleines Referat darüber gehalten. Ihrer Meinung nach waren einige Definitionen falsch, aber ich hatte diese aus Fachbüchern übernommen. Deshalb lege ich da jetzt nicht so viel wert auf die Meinung des Lehrers. Aber im großen und ganzen habe ich meine Lehrerin voll überzeugt.

Zitat:
Original von chrizke
Und schreibst dann was zu der Lösung mittels Potenzreihen. Da gibt es auch für gewöhnliche DGL ein paar recht leicht verständliche Beispiele, die man einbringen/vorrechnen könnte.

Darüber habe ich mit dem Lehrer auch schon gesprochen und sie überzeugt. Danach habe ich aber auch im Internet einige Leute gefragt und die meinten das es doch nicht ganz richtig ist=(
Mit Potenzreihen nähert man sich ja einer möglichen Lösung ja nur an. Da muss man dann den Konvergenzradius beachten etc..... (richtig?)
Das mit semil-/quasilinear habe ich auch schon alles entschlüsselt.

Zitat:
Original von chrizkeSollte es allerdings darüber hinausgehen, halte ich das für meinen Teil allerdings für einen Schüler ohne Vorwissen für zu schwierig.

Mein Lehrer möchte das ich in der genauen Aufarbeitung kaum mathematische Formeln benutze, einfach nur erkläre welche Probleme sie gesehen hat und wie sie das Ganze angegangen ist. Aber klar ist auch, dass es ganz ohne Formeln natürlich auch nicht geht. Einzig in der Einführung kann ich grundsätzliche Begriffe der DGL mit einigen Formeln erläutern.

Zitat:
Original von chrizke Denn du wirst ohne sehr! viel Arbeit nicht mehr als stupide abschreiben können.

Mittlerweile bin ich soweit, dass das mein Plan ist. Lehrer meinte auch ich muss natürlich nichts neu erfinden. Wichtig ist halt das ich wissenschaftlich arbeite. Das einzige was ich habe ich die Dissertation und die Aufarbeitung aus dem Buch, die jedoch dann auch für mich ab einem gewissen Zeitpunkt viel zu schwer ist.

Zitat:
Original von EhosErwähnenswert ist noch, das Sofia Kowalewskaja einen Spezialfall der Kreisel-Bewegung analytisch gelöst hat.

Ich möchte jetzt nicht frech sein, aber es bleibt einfach nur erwähnenswert. Ich habe mich für die part. DGL entschieden weil die Dissertation im Internet frei verfügbar war. Zum Rotationsproblem habe ich kaum was gefunden.
Vor kurzem habe ich noch ihre Dissertation "zu abelschen Intergralen" gekauft-.-
Das bringt mir jetzt aber auch nichts mehr, weil ich schon ziemlich auf DGL fokussiert war. Außerdem ist die Arbeit zu den abel. Integralen noch viel uuuuunlustiger!!!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von akamanston
Zitat:
Original von chrizke
Ich kenne bis dato nur das Cauchy-Kowalevski-Theorem. Dazu findet man, meiner Erfahrung nach, aber eher englische als deutsche Quellen. Du solltest somit deine Suche auch aufs Englische ausweiten. Wobei ich fürchte, dass dich dieser Satz als Schüler schon überfordern wird. Er steht wirklich in keinem Vergleich zur Transsibirischen Eisenbahn Augenzwinkern

Ja das Theorm ist in meinem zu behandelnden Werkabschnitt(Theorie part. DGL) enthalten. Wenn ich das ausarbeite komme ich wohl nicht drum herum das Theorm zu erwähnen.

Erwähnen genügt nicht! Das Ergebnis ihrer Arbeit ist genau das, was heute als 'Satz von Cauchy-Kowalewski' in den Büchern steht. Die beiden Dinge sind also im wesentlichen identisch. Allerdings hat man den Beweis inzwischen deutlich vereinfacht.

Es ist daher meiner Meinung nach notwendig, dass du Aussage dieses Satzes inhaltlich verstehst und in deiner Arbeit darstellst. Dazu bedarf es kaum Formeln, denn die mathematischen Feinheiten wird man nicht von dir verlangen.

Die Kernaussage ist, dass es zu einem System partieller Diffferentialgleichungen mit gewissen Randbedingungen unter bestimmten Umständen in der Umgebung eines Punktes genau eine Lösung gibt. Voraussetzung ist, dass die Differentialgleichungen und die Randbedingungen analytisch sind, d. h. sich in der Umgebung des betrachteten Punktes in Potenzreihen entwickeln lassen.

Um das zu beweisen, hat sie die Differentialgleichungen und die Randbedingungen zunächst in eine bestimmte kanonische Form gebracht. Dann hat sie gezeigt, dass es für diese kanonische Form eine formale Lösung durch Potenzreihen gibt. Und schließlich hat sie gezeigt, dass diese Potenzreihen einen positiven Konvergenzradius haben, wodurch sie von formalen zu tatsächlichen Lösungen werden.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Erwähnen genügt nicht! Das Ergebnis ihrer Arbeit ist genau das, was heute als 'Satz von Cauchy-Kowalewski' in den Büchern steht. Die beiden Dinge sind also im wesentlichen identisch. Allerdings hat man den Beweis inzwischen deutlich vereinfacht.

Hey Huggy,
okok kein Ding ich werde dem Theorm mehr Aufmerksamkeit schenken=)
Zitat:
Original von Huggy
Es ist daher meiner Meinung nach notwendig, dass du Aussage dieses Satzes inhaltlich verstehst und in deiner Arbeit darstellst. Dazu bedarf es kaum Formeln, denn die mathematischen Feinheiten wird man nicht von dir verlangen.

hm Okay. Also muss ich letztlich darauf hinaus, dass ich zum Schluss das Theorm erläutere. hmmmm-.-

Zitat:
Original von Huggy
Die Kernaussage ist, dass es zu einem System partieller Diffferentialgleichungen mit gewissen Randbedingungen unter bestimmten Umständen in der Umgebung eines Punktes genau eine Lösung gibt. Voraussetzung ist, dass die Differentialgleichungen und die Randbedingungen analytisch sind, d. h. sich in der Umgebung des betrachteten Punktes in Potenzreihen entwickeln lassen. Um das zu beweisen, hat sie die Differentialgleichungen und die Randbedingungen zunächst in eine bestimmte kanonische Form gebracht. Dann hat sie gezeigt, dass es für diese kanonische Form eine formale Lösung durch Potenzreihen gibt. Und schließlich hat sie gezeigt, dass diese Potenzreihen einen positiven Konvergenzradius haben, wodurch sie von formalen zu tatsächlichen Lösungen werden.

Also das ist schon ein kleiner Hammer, den du hier auspackst- natürlich positiv gemeint. Genau solche Erläuterungen bräuchte ich, diese sind in verständlichen Deutsch geschrieben. Nicht wie das Zeug, mit dem ich mich hier plage. Echt tolle Erklärung. das mit der kanonischen Form habe ich in ihrer Arbeit auch schon wahrgenommen aber einfach nicht kapiert was das soll. Jetzt habe ich einen neuen Anhaltspunkt.

Bekomme ich dort dann meine 5 Seiten vollgeschrieben? Du schüttelst das so aus dem Ärmel.....
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bekomme ich dort dann meine 5 Seiten vollgeschrieben?

Da solltest du keine Bedenken haben. Eher wird der Platz zu knapp. Ich kann ja mal ergänzend zu obigem ein paar völlig unsortierte Gedanken absondern.

(1) Man mag ja SK hoch schätzen, ihr mathematisches Werk taugt heute nur noch als Fußnote. Das ist alles von neueren Entwicklungen überholt. Mit einer Ausnahme: Ihre Dissertation zu partiellen Differentialgleichungen. Die taucht noch heute als Satz von Cauchy-Kowalewski in jedem Buch und in jeder Vorlesung über partielle Differentialgleichungen auf. Und das wird vermutlich in 100 hundert Jahren auch noch so sein.

(2) Was hat Cauchy mit der Sache zu tun?
Er hatte schon vor SK eine speziellere Variante des Satzes bewiesen. SK kannte die Arbeit von Cauchy offenbar nicht. Sie hat ihn auch nicht zitiert. Sie hat ohne Rückgriff auf seine Arbeit eine allgemeinere Variante bewiesen.

(3) Man muss den Satz sicher explizit aufführen. Ein gutes Buch über partielle Differentialgleichungen wäre da hilfreich. Zur Not tut es aber auch die Wikipedia.

(4) Was ist die kanonische Normalform?
Heutige Bücher gehen beim Satz von C-K meist schon von der kanonischen Normalform aus. Unter welchen Bedingungen man sie herstellen kann, wird schon früher abgehandelt, weil man diese Normalform auch an anderen Stellen gebrauchen kann.

Bei der kanonischen Normalform werden alle höheren Ableitungen eliminiert, indem man man zusätzliche Variablen für die Ableitungen einführt. Es gibt dann nur noch erste Ableitungen. Das erhöht allerdings die Zahl der Gleichungen. Das Verfahren ist völlig analog dem Verfahren bei gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ordnung, die man durch Zusatzvariablen in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung überführen kann.

Das Gleichungssystem wird dann als aufgelöst nach der ersten Ableitung von einer ausgewählten Variablen betrachtet, z. B. x1. Es hat dann die Form





usw. Und auch für die rechte Seite wird noch eine spezielle Form angesetzt.

(5) Weshalb werden alle Funktionen als analytisch vorausgesetzt?
Dann kann man von den schönen Eigenschaften von Potenzreihen Gebrauch machen. Z. B:

Potenzreihen sind im Inneren ihres Kovergenzradius nicht nur konvergent, sondern sogar absolut konvergent. Deshalb kann man vom großen Umordnungssatz Gebrauch machen. Und deshalb lassen sich Potenzreihen problemlos miteinander multiplizieren (Cauchy-Produkt).

Potenzreihen sind im Inneren ihres Konvergenzradius beliebig oft differenzierbar und die Ableitungen ergeben sich durch Differentiation der Potenzreihe.

Potenzreihen kann man ineinander einsetzen und erhält wieder eine konvergente Potenzreihe.

Gleichungen zwische Potenzreihen kann man durch Koeffzientenvergleich lösen.

Von den schönen Eigenschaften von Potenzreihen wird beim Beweis des Satzes von Cauchy-Kowalewski ausgiebig Gebrauch gemacht. Die formale des Lösung des Gleichungssystems durch eine Potenzreihe geschieht über Koeffizientenvergleich. Die Konvergenz der formalen Potenzreihe wird mit der Majorantenmethode bewiesen.

Es gibt den Satz inzwischen auch mit schwächeren Voraussetzungen. Dann wird der Beweis aber deutlich schwieriger.

(6) Allgemeines zur Bedeutung des Satzes
Differentialgleichungen sind ein schwieriges Gebiet. Es gibt nicht umsonst das geflügelte Wort: Die Lösung von Differentialgleichungen ist mehr Kunst als Wissenschaft.
Und partielle Differentialgleichungen sind noch mal ein Stück schwieriger als gewöhnliche.

Partielle Differentialgleichungen sind ungeheuer wichtig. Weniger für die Mathematik als für die Physik. In der Physik stößt man fast überall auf partielle Differentialgleichungen, z. B.

- Kontinuumsmechanik
- Thermodynamik
- Elektrodynamik
- allgemeine Relativitätstheorie
- Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung)

Und immer sind sie schwierig. Mathematiker erzählen häufig Schauergeschichten, mit welch abenteuerlichen Verfahren Physiker gelegentlich versuchen, zu Lösungen zu gelangen. Nicht umsonst gehört eine uralte partielle Differentialgleichung der Physik, die Navier-Stokes-Gleichung, zu den Millenium-Problemen.

Da bietet der Satz von Cauchy-Kowalewski einen sicheren Hafen am Rande des unberechenbaren Meeres von partiellen Differentialgleichungen. Hurra, hier gibt es ein Gebiet, da weiß man wenigstens, dass es eine Lösung gibt. Und hurra, die ist auch noch eindeutig. Und nochmal hurra, manchmal kann man sie sogar mittels der Potenzreihenmethode hinschreiben. Und wenn nicht, so kann man doch hoffen, dass die numerische Lösung des Rechenknechts Computer nicht nur aus sinnlosen Zahlen besteht.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

HI Gott
ich bin erstmal geschockt und muss alles auf mich wirken lassen. Das ist schon wahnsinn wie geil du das alles so geschrieben hast.
Gib mir ein wenig Zeit, damit ich mich damit ein wenig befassen kann.

Hast du dich selber schon mal mit dem Thema so ausführlich befassen müssen? Wie kommt es das du mir so schnell helfen kannst? Ist das Grundwissen für ein Mathematiker, der sowas in null-komma-nix ablässt?

Ich kann ja schon mal Literatur auflisten die ich zum Thema DGL besitze.
Taschenbuch der Mathe: Das gefällt mir aber gar nicht, weil es irgendwie für Leute geschrieben ist, die sich damit schon auskennen.
und
Mathematik verständlichBig Laugh as Buch gefällt mir schon eher, jedoch sind hier so viele Informationen enthalten, das ich gar nicht weiß was für mich wichtig ist, und alles Schritt für Schritt durchzugehen ist einfach zu anstrengend. Oder nicht?

Ok das wars erstmal von meiner Seite. Ich versuche morgen ausführlicher zu antworten.
danke Tanzen Gott Gott Gott huggy Gott Gott Gott Tanzen
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Abakus
aber sie hat sicher ein Inhaltsverzeichnis und hinten eine Zusammenfassung. Führt das weiter und gibt Hinweise? Irgendwo muss ja schon an prominenter Stelle stehen, welche Fragen untersucht wurden.


hehe auch wenns lange gedauert hat, aber ich bin jetzt erst an dem punkt angelangt wo es so richtig losgeht.
aber genaus sowas suche ich, jemand der sich damit schon mal befasst hat, aber ich finde nichts, nur ein paar pdfs auf englisch die 50 seiten lang sind. mit sowas komme ich nicht zurecht. ich kann ja net mal auf deutsch. außerdem meinte der lehrer ich solle genau danach suchen, da findet man auf jeden fall was -.-
haha ich finde nichts
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Ohne etwas Englisch wirst du kaum auskommen. Kennst du das, insbesondere den Appendix 2?

http://www.tollmien.com/polyakhova.html#app2

Da gibt es einige Literaturstellen, die vielleicht nützliches für dich enthalten könnten, z. B.die Nummern 41, 59, 67, 68, 69, 74, 75, 76, 80, 82, 91

Und dieses Paper kennst du sicher:

http://www.emba.uvm.edu/~cooke/ckthm.pdf

Da sollten doch insbesondere die Abschnitte 3.1 und 5 hilfreich sein.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Huggy
Ohne etwas Englisch wirst du kaum auskommen. Kennst du das, insbesondere den Appendix 2?

das sagt mir nichts.
Zitat:
Original von Huggy
http://www.tollmien.com/polyakhova.html#app2
Da gibt es einige Literaturstellen, die vielleicht nützliches für dich enthalten könnten, z. B.die Nummern 41, 59, 67, 68, 69, 74, 75, 76, 80, 82, 91

ja die seite kenn ich. die vorgeschlagenen nummer sind sicher nicht schlecht. wie soll ich das aber nur verarbeiten?

Zitat:
Original von Huggy
Und dieses Paper kennst du sicher:

http://www.emba.uvm.edu/~cooke/ckthm.pdf

Da sollten doch insbesondere die Abschnitte 3.1 und 5 hilfreich sein.

genau dieses sehe ich jetzt zum ersetn mal, aber ich habe schon so ähnliche gesehen. vlt war es sogar dieses hier, kann ich nicht genau sagen. aber ok, wie bereits geschrieben. man wird sich doch nicht so viel informieren müssen um ein bisschen was dazu zu schreiben. nicht das der gedanke aufkommt ich sei faul oder so, ich war sehr fleißig und die restliche arbeit habe ich ja alles schon extrem genau gemacht. habe es auch von einem germanisten korrigieren lassen, und er meinte ich habe da viel zu viel zeit investiert, für so eine "popelige schularbeit".

Nagut, und jetzt komme ich auf mein Problem zu sprechen

ich habe jetzt so eine art einleitung geschrieben, nicht nur zum thema dgl, sondern um speziell auf sofia thema hinzuführen(naja ob das dann so speziell ist, sei mal dahingestellt^^^). ich uploade mal die eine seite(es wären dann nur noch 4 weitere!!!)
ich habe hier mit ihrer doktorarbeit, einem speziellen buch über sofia und einem schulbuch gearbeitet. in diesem speziellen buch ist auch eine 4-seitige behandlung enthalten(die ich aber nicht so recht zu verarbeiten weiß), wenn es jemand möchte kann ich die auch uploaden.(damit diejenigen, die helfen wollen sich ein genaueren überblick schaffen können worum es geht)
hier bei meiner einleitung war ich mir bei manchen sachen auch net so sicher, wenn jemand ausbessern möchte, nur zu
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Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Ich kommentiere mal nur den mathematischen Inhalt des Textes.

SK hat nicht nur auf dem Gebiet der DGL gearbeitet.

Der Unterschied zwischen gewöhnlichen und partiellen DGL ist nicht gut beschrieben. Auch in einer gewöhnlichen DGL dürfen mehrere Variablen vorkommen. Es dürfen aber nur Ableitungen nach einer Variablen auftreten. Bei einer partiellen DGL kommen dagegen Ableitungen nach mindestens zwei Variablen vor. Man kann auch eine partielle DGL nicht in ein System gewöhnlicher DGL umschreiben.

Diese Sachen würden wahrscheinlicher klarer, wenn du je ein Beispiel für eine gewöhnliche DGL und eine partielle DGL explizit angeben würdest. Zum Beispiel lautet die DGL der von dir erwähnten harmonischen Schwingung



mit einer positiven Konstanten k. Es wird hier nur nach der Zeit abgeleitet. Deshalb ist das eine gewöhnliche DGL. Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung



ist dagegen eine partielle DGL, weil in ihr sowohl Ableitungen nach der Zeit t als auch nach dem Ort x vorkommen.
Die Schwingungsgleichung könnte man außerdem als Beispiel benutzen, wie die Lösung einer DGL durch Potenzreihen funktioniert.

Deine Gleichung



und der zugehörige Satz sind Unfug.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von Huggy

Man kann auch eine partielle DGL nicht in ein System gewöhnlicher DGL umschreiben.[/quote]
dann habe ich diesen abschnitt falsch verarbeitet:
Bei gewöhnlichen dgl liegt eine bedeutung für die untersuchung von systemen darn, dass
- man jede gewöh. dgl n-ter ordnung auf ein system von dgl erster ordnung zurückführen kann.
- sich die lösung part. dgl erster ordnung auf die lösung gewöhn. dgl-systeme zurückführen lässt.
sitmmt meine aussage nun nicht?

Zitat:
Original von Huggy
Diese Sachen würden wahrscheinlicher klarer, wenn du je ein Beispiel für eine gewöhnliche DGL und eine partielle DGL explizit angeben würdest.

da hast du wohl recht, aber ichwollte es vermeiden formeln anzuwenden. aber das erscheint wohl doch ziemlich wichtig, damit man mal sieht wie sich so eine dgl darsetllt.

Zitat:
Original von HuggyZum Beispiel lautet die DGL der von dir erwähnten harmonischen Schwingung



mit einer positiven Konstanten k.

habe ich bewusst vermieden, erschien mir nicht so wichtig.

Zitat:
Original von HuggyDeine Gleichung



und der zugehörige Satz sind Unfug.

oh, wie schade, ist das keine logische information? vlt siehst du da ja gar nicht mehr weil du dich mit so anfängerhaften formeln gar nicht mehr beschäftigst? ich mag die formel^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von akamanston
- sich die lösung part. dgl erster ordnung auf die lösung gewöhn. dgl-systeme zurückführen lässt.

Das stimmt nicht. Wenn das so wäre, bräuchte man ja gar keine eigenständige Theorie partieller Differentialgleichungen.

Zitat:
Zitat:
Original von HuggyDeine Gleichung



und der zugehörige Satz sind Unfug.

oh, wie schade, ist das keine logische information?

Das ist einfach falsch. Die Funktion F, die du in der Gleichung davor benutzt hast, ist nicht gleich y'.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von HuggyDas ist einfach falsch. Die Funktion F, die du in der Gleichung davor benutzt hast, ist nicht gleich y'.

aso, ich meine das aber unabhängig voneinander. ich will damit nur verdeutlichen das die erste ableitung der funktion f, auch kurz als erste ableitung von y geschrieben werden kann(=y(x), y soll halt die funktion darstellen) und das die stammfunktion von F bzw dann auch (Y) wäre. verstehst du mich?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
So versteht das kein Leser. Man verwendet nicht das gleiche Symbol (F) in zwei aufeinanderfolgenden Zeilen in unterschiedlicher Bedeutung. Und dann solltest du dich entscheiden, ob deine Funktion y(x) heißen soll oder f(x). Beides zugleich gibt auch nur Verwirrung. Und wenn sie f(x) heißt, dann ist f'(x) ihre Ableitung und f(x) die Stammfunktion von f'(x). Wieso soll die nun wieder F(x) heißen?

Oder möchtest du deinen Lehrer in den Wahnsinn treiben?
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
ich glaube ich habe übersehen, dass F die funktion ist. aus der schule war ich es noch gewohnt, dass F die stammfunktion darstellt! deshalb die verwirrung.
aber das mit f(x) = y schreibt man doch so, wenn man im bereich der dgl arbeitet. man kann ja nicht dauern f(x) schreiben, man erleichtert es sich indem man einfach es vorher so definiert.

ich müsste es so schreiben, und so hatte ich es auch gemeint^^
achtung:

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Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
In der Differentialrchnung schreibt man häufig y = f(x). Dann ist f der Funktionsname, f(x) der Wert der Funktion an der Stelle x und den nennt man auch y. Dann gebraucht man aber nicht zusätzlich die Schreibweise y(x) oder für die Ableitung y'(x).

Auf dem Gebiet der Differentialgleichungen unterscheidet man oft nicht so sauber zwischen Funktionsname und Funktionswert. Man schreibt meist kurz, unsauber, aber bequem y = y(x) und für die Ableitung y' oder y'(x). Es gibt dann kein zusätzliches f.

Weshalb willst du überhaupt üblche Scheibweisen erläutern. Das halte ich für unnötig.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
weil ich am anfang das gar nicht gecheckt habe was damit gemeint ist, erst später habe ich es einfach so hingenommen, dass es so gemeint ist wie es eigentlich gedacht ist. das war der einzige grund
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von huggyBei der kanonischen Normalform werden alle höheren Ableitungen eliminiert, indem man man zusätzliche Variablen für die Ableitungen einführt. Es gibt dann nur noch erste Ableitungen. Das erhöht allerdings die Zahl der Gleichungen. Das Verfahren ist völlig analog dem Verfahren bei gewöhnlichen Differentialgleichungen höherer Ordnung, die man durch Zusatzvariablen in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung überführen kann.

hiBig Laugh
in wie weit steht die kanonische form imm zusammenhang mit partiellen ableitung? weil mir erscheint es irgendwie ein wenig sinnlos, pratielle ableitung und kanonische form unabhängig voneinander zu erklären?!!?
das klingt irgendwie beides nach dem gleichen und wenn mich mein lehrer fragt wo der unterschied ist, naja du weißt=)

dann hast du noch geschrieben, dass
Zitat:
Original von huggyMan kann auch eine partielle DGL nicht in ein System gewöhnlicher DGL umschreiben.

aber ich habe das von hier übernommen. (seite 19 oben)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von akamanston
[in wie weit steht die kanonische form imm zusammenhang mit partiellen ableitung? weil mir erscheint es irgendwie ein wenig sinnlos, pratielle ableitung und kanonische form unabhängig voneinander zu erklären?!!?
das klingt irgendwie beides nach dem gleichen und wenn mich mein lehrer fragt wo der unterschied ist, naja du weißt=)

Da gibt es gar keinen besonderen Zusammenhang. Partielle Ableitungen werden definiert für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Dazu muss keine partielle Differentialgleichung oder partielles Differentialgleichungsystem vorliegen oder betrachtet werden.
Die kanonische Form ist eine spezielle Form eines partiellen Differentialgleichungssystems. Wenn man das System nicht in der kanonischen Form betrachtet, hat man immer noch partielle Ableitungen und muss wissen, wie diese definiert sind.

Du solltest auch beachten, dass es in der Mathematik 'kanonische Formen' für alles mögliche gibt, die nicht unbedingt etwas miteinander zu tun haben. Das ist kein feststehender Begriff mit eindeutiger Bedeutung.

Zitat:
dann hast du noch geschrieben, dass
Zitat:
Original von huggyMan kann auch eine partielle DGL nicht in ein System gewöhnlicher DGL umschreiben.

aber ich habe das von hier übernommen. (seite 19 oben)

Die Bemerkung in dem Buch ist irreführend.

Erstens bezieht sie sich nur auf partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Zweitens wird dort von zurückführen gesprochen. Ich sprach von umschreiben. Das ist ein kleiner, aber wichtiger Unterschied.

Wenn man eine gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung durch Einführung von Hilfsvariablen in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung umschreibt, dann haben beide, die DGL höherer Ordnung und das System erster Ordnung, dieselben Lösungen.

So funktioniert das bei partiellen DGL nicht. Man kann aber einer partiellen DGL erster Ordnung ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zuordnen. Man bezeichnet es als das charakteristische Differentialgleichungssystem. Die Lösungen dieses Systems sind nicht identisch mit den Lösungen der partiellen Differentialgleichung. Man kann aber aus ihnen durch eine weitere Rechnung dann die Lösungen der partiellen Differentialgleichung gewinnen. Das funktioniert allerdings auch nicht immer.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von HuggyDie Konvergenz der formalen Potenzreihe wird mit der Majorantenmethode bewiesen.

kannst du mir dazu etwas erzählen? wenn ich danach goolge, dann stehen da immer nur mathematische definitionen, die ich nicht verstehe^^

und noch was. ich habe geschrieben

es existieren auch „Systeme von Differentialgleichungen“, die dadurch gekennzeichnet sind, dass mehrere gesuchte (Lösungs-)Funktionen mit ihren Ableitungen auftreten. Gewöhnliche DGL kann man immer auf ein System erster Ordnung zurückführen und partielle DGL erster Ordnung wiederum auf ein System gewöhnlicher DGL. Dies funktioniert durch (ist das so??)„partielle Ableitung“, indem die Veränderlichen bis auf eine reduziert werden und man sodann eine gewöhnliche DGL entstehen lässt und dann je nach abgeleiteter Variable die Aufgabenstellung angehen kann

hat dieses zurückführen überhaupt was mit partieller ableitung zu tun?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Zurückführen auf gewöhnliche DGL funktioniert nicht für alle part. DGL, sondern wenn nur für quasilineare. Für nichtlineare geht das nicht. Und für die quasilinearen kann man zwar immer das Differentialgleichungssystem angeben, eine Lösung dessen ist dann aber immer noch nicht gesichert.
Und diese so genannte Methode der Charakteristiken funktioniert anders als du es da beschrieben hast.

Ich glaube, dir ist immer noch nicht ganz klar, was partielle Ableitungen sind, oder?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Theorie partieller Differentialgleichungen
Zitat:
Original von akamanston
Zitat:
Original von HuggyDie Konvergenz der formalen Potenzreihe wird mit der Majorantenmethode bewiesen.

kannst du mir dazu etwas erzählen? wenn ich danach goolge, dann stehen da immer nur mathematische definitionen, die ich nicht verstehe^^

Nun ist Majorante ein mathematische Begriff. Also muss seine Erklärung auch mathematischer Natur sein. Die Erläuterung im Wikipediaartikel 'Majorantenkritierium' ist doch gut verständlich. Mit der Majorantenmethode in der Dissertation von SK ist nun eine spezielle Methode gemeint, eine geometrische Reihe als Majorante für die formalen Potenzreihen analytischer Funktionen nachzuweisen. Diese Methode wurde von Cauchy und Weierstraß auf unterschiedlichen Wegen entwickelt, die in dem Papier von Cooke in den Kapiteln 2.2 und 2.3 erläutert sind.

Zitat:
es existieren auch „Systeme von Differentialgleichungen“, die dadurch gekennzeichnet sind, dass mehrere gesuchte (Lösungs-)Funktionen mit ihren Ableitungen auftreten. Gewöhnliche DGL kann man immer auf ein System erster Ordnung zurückführen und partielle DGL erster Ordnung wiederum auf ein System gewöhnlicher DGL.

Das ist zwar nicht falsch, wenn man weiß, dass das Zurückführen bei den gewöhnlichen DGL und den partiellen DGL erster Ordnung etwas sehr unterschiedliches bedeutet. Den mit der Charakteristikenmethode bei partiellen DGL erster Ordnung nicht vertrauten Leser dürfte die Bemerkung stark irritieren.

Zitat:
Dies funktioniert durch (ist das so??)„partielle Ableitung“, indem die Veränderlichen bis auf eine reduziert werden und man sodann eine gewöhnliche DGL entstehen lässt und dann je nach abgeleiteter Variable die Aufgabenstellung angehen kann

hat dieses zurückführen überhaupt was mit partieller ableitung zu tun?

Das stimmt so überhaupt nicht. Mann muss zwischen den abhängigen und den unabhängigen Variablen unterscheiden.

Bei einen gewöhnlichen DGL höherer Ordnung wird die Zahl der Variablen nicht reduziert. Im Gegenteil, es werden zusätzliche unabhängige Variablen eingeführt.

Bei den partiellen DGL erster Ordnung werden neue unabhängige Variablen derart eingeführt, dass sowohl die abhängigen Variablen als auch die alten unabhängigen Variablen von den neuen unabhängigen Variablen abhängen. Dabei besteht auf gewissen Kurven, den Charakteristiken, nur noch eine Abhängigkeit von einer der neuen unabhängigen Variablen. Auch hier ergibt sich eine Vermehrung der Zahl der Variablen.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
Ich glaube, dir ist immer noch nicht ganz klar, was partielle Ableitungen sind, oder?

edit:
man hab ich hier ein schmarrn geschrieben(das seht ihr aber nicht mehr) ich habe falsch zitiert oder so.
JETZT kannst du ja antworten^^

so.
aja, wie man da vorgeht ist mir schon ein wenig klar, mit dem ableiten nach einer variablen, und dann das abgeleitete nachder anderen ableiten. aber die technik (auch wenn ichs jetzt vlt weider falsch geschrieben habe) ist nicht so wichtig. ich denke auch brauch nur wissen wofür und wieso man sowas braucht.
aber ich glaube part. ableitungen braucht man sowieso nicht, eher partielle ableitungen oder?
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

hi huggy
du hast geschrieben, dass der unterschied zwischen gewöhnlicher dgl und part. dgl nich sauber sei.
Zitat:
Original von Huggy
Der Unterschied zwischen gewöhnlichen und partiellen DGL ist nicht gut beschrieben. Auch in einer gewöhnlichen DGL dürfen mehrere Variablen vorkommen. Es dürfen aber nur Ableitungen nach einer Variablen auftreten. Bei einer partiellen DGL kommen dagegen Ableitungen nach mindestens zwei Variablen vor.

ich habe hier jetzt mal den originaltext aus dem buch kopiert, den ich übernommen hatte. (evtl habe ich durch das sinngemäße umschreiben etwas vertauscht,aber ich glaube nicht)

eine gleichung, in der nicht nur funktion einer (oder mehrer) variablen, sondern auch differentialquotienten dieser funktion auftreten, heißt dgl.
treten nur funktionen einer variablen auf, spricht man von gewöhnlichen, sonst von part. dgl.
ist das hier etwa falsch?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch würde ich es nicht nennen, halt nur nicht gut beschrieben.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

das problem ist, ich suche jetzt ein buch in dem der unterschied in etwa so dargestellt wird wie du ihn mir geschrieben hast, damit ich daraus ein zitat (vgl ode so) bauen kann. nur finde ich kein buch in dem das gemeinsam erklärt wird. mir gefällt deine beschreibung auch besser.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Für so allgemeine Begriffe muss man kein Zitat angeben.
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