zyklische Gruppe (1)

02.08.2011, 00:30

natural

zyklische Gruppe (1)

Hallo Zusammen Wink

Ich habe eine Frage zum Beweis eines Satzes.

Aber erst der Satz und Beweis und dann die Frage!

Satz.
Sei $\begin{eqnarray*} G=<g> \end{eqnarray*}$ eine endliche zyklische Gruppe mit $\begin{eqnarray*} | G |=n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} G=\left\{ e=g^{0},g,...,g^{n-1} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{n}=e \end{eqnarray*}$ .

Beweis.
Wegen $\begin{eqnarray*} G=<g> \end{eqnarray*}$ gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} k,l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq k<l\leq n \end{eqnarray*}$ , so daß $\begin{eqnarray*} g^{k} = g^{l} \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} e=g^{l-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<l-k\leq n \end{eqnarray*}$ . Wir setzen nun $\begin{eqnarray*} l-k=m \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} j=sm+e \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq r<m \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} g^{j}=\left(g^{m}\right)^{s}g^{r}=g^{r} \end{eqnarray*}$ . Dies zeigt $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g^{n}=e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G=\left\{ e=g^{0},g,...,g^{n-1} \right\} \end{eqnarray*}$ .#

Frage:
Der Satz beschreibt anschaulich einen Schleifenprozess. Der Anfang entspricht dem Ende und genauso umgekehrt wie in einer Uhr, wo 0:00 Uhr gleich 12:00 Uhr entspricht und genauso umgekehrt .

1.
Ich verstehe folgendes im Beweis nicht und zwar beginnt es schon beim ersten Satz. Wenn $\begin{eqnarray*} 0\leq k<l\leq n \end{eqnarray*}$ gelten solle, wie kann dann $\begin{eqnarray*} g^{k} = g^{l} \end{eqnarray*}$ sein. Ich kenne die Potenzgesetzte etwas anders! Nicht Böse sein, wenn ich mich irre, aber müsste dann nicht eigentlich $\begin{eqnarray*} g^{k}<g^{l} \end{eqnarray*}$ stehen wenn $\begin{eqnarray*} k<l\ \end{eqnarray*}$ ist?

2.
Weiterhin Frage ich mich wie aus $\begin{eqnarray*} g^{j}=\left(g^{m}\right)^{s}g^{r}=g^{r} \end{eqnarray*}$ komischer Weise $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ gefolgert worden ist, wobei doch zuvor gesagt worden ist das $\begin{eqnarray*} 0<l-k\leq n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 0<m\leq n \end{eqnarray*}$ sein soll?

mfg
natural smile

02.08.2011, 00:40

IfindU

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RE: zyklische Gruppe (1)
$\begin{eqnarray*} g^{k}<g^{l} \end{eqnarray*}$

Was soll das denn heißen? Eine Gruppe muss keine Ordnungsrelation erfüllen, betrachte z.B. <i>, also die von i erzeugte Untergruppe der Einheiten von C, also $\begin{eqnarray*} \{i, -i, 1, -1\} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt auch z.b. $\begin{eqnarray*} i^4 = i^8 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 4 < 8 \end{eqnarray*}$ .

Auch wenn ich ehrlich gesagt den Beweis auch nicht so wirklcih verstehe, z.B. was j eigentlich sein soll - es ist die Summe ganzer Zahlen mit einem Gruppenelement? Das würde für mich nur Sinn ergeben, wenn man den Klassifikationssatz für zyklische Gruppen bereits hätte und einen Isormorphismus still und leise voraussetzt. Selbst dann wirkt es fehl am Platz.

02.08.2011, 00:46

natural

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1.
Zu 1 ist mir eben gerade folgendes Beispiel eingefallen und zwar wenn ich meinen Uhrenbeispiel nehmen würde, dann würde $\begin{eqnarray*} | G |=12 \end{eqnarray*}$ sein und für $\begin{eqnarray*} 0\leq k<l\leq n \end{eqnarray*}$ würde $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l=12 \end{eqnarray*}$ sein, dann würde $\begin{eqnarray*} g^{0} = g^{12} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e=g^{12-0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<12-0\leq 12 \end{eqnarray*}$ sein.
Habe ich mir das so richtig überlegt?

IfindU: Danke für deine schnelle Antwort. Hab sie gerade bemerkt und werde sie lesen!

mfg
naturall

02.08.2011, 01:00

natural

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IfindU:
In der obigen Definition der Buchseite heißt es: Für $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ist insbesondere $\begin{eqnarray*} <g>=\left\{ g^{j} | j\in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G. Wir nennen $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ eine zyklische Gruppe.

Das Ding ist, das im Beweis überhaupt nicht die Rede ist, ob vom selben Element geredet wird und des weiteren was um aller Welt soll das $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} j=sm+r \end{eqnarray*}$ sein.
Aus welcher Menge enstammt das s. Entweder blick ich da garnicht durch oder der Beweis glänzt gerade nicht von Sorgfalt.

EDIT: Im obigen Beweis soll $\begin{eqnarray*} j=sm+r \end{eqnarray*}$ ansatt $\begin{eqnarray*} j=sm+e \end{eqnarray*}$ stehen. Kleiner Tippfehler!

mfg
natural smile

02.08.2011, 01:31

IfindU

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$\begin{eqnarray*} j = sm +r \end{eqnarray*}$ ergibt schon mehr Sinn, j, s und r sollen hier ganze Zahlen sein.

Ich denke der Trick ist, dass für alle Zahlen j=sm+0, sm+1, sm+2,....sm+r dann g^j und g^0,g^1,...,g^r die gleichen Gruppenelemente sind.
=> Die Gruppe hat nur diese r+1 Elemente, weil sie sich eben wiederholen.

Und da du schon weißt, dass die Gruppe n Elemente hat => m ist größer gleich n.

04.08.2011, 02:23

natural

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Kannst du bitte genauer erläutern, wieso nun $\begin{eqnarray*} m\geq n \end{eqnarray*}$ sein solle.
Das leuchtet mir leider nicht so ganz ein verwirrt

mfg
natural

04.08.2011, 15:32

natural

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Ich bin zu zäh, um einfach das Handtuch zu werfen. Auch auf die Gefahr Quatsch zu schreiben, reflektiere ich noch mal wie ich den Beweis verstanden habe, damit jemand mein Problem versteht. Und da Mathematiker bekanntlich Probleme lieben, hoffe ich mal das mir geholfen wird Freude

Auf geht's:

1)- Wir wissen das $\begin{eqnarray*} g^{j}=g^{r} \end{eqnarray*}$ ist und somit $\begin{eqnarray*} <g>=\left\{ g^{0},g^{1},...,g^{j} \right\}= \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\} \end{eqnarray*}$

2)- Weiterhin wissen wir, das die Gruppe $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} r+1 \end{eqnarray*}$ Elemente haben muss, damit sie sich wiederholt, da ja $\begin{eqnarray*} r\in \left\{ 0,1,...,m-1\right\} \end{eqnarray*}$ ist. Also muss eigentlich $\begin{eqnarray*} <g>= \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ g^{r+1}=e \right\} \end{eqnarray*}$ sein.(?)

3)- Kann es sein, dass dann $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}|=n=m-1 \end{eqnarray*}$ ist, weil einerseits $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{j} \right\}|=n=| \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}| \end{eqnarray*}$ und anderseits weil $\begin{eqnarray*} r\in \left\{ 0,1,...,m-1\right\} \end{eqnarray*}$ ist und somit $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}| \end{eqnarray*}$ genau dann $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ Elemente haben muss. Also gilt erstmal für $\begin{eqnarray*} | <g>|=n=m-1 \end{eqnarray*}$ . Da aber die Gruppe $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} r+1 \end{eqnarray*}$ Elemente haben muss, damit sie sich ja wiederholt, müssen wir noch das $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{r+1}=e \right\}|=1 \end{eqnarray*}$ hinzurechnen. Also ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{j} \right\}|\leq | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}|+| \left\{ g^{r+1}=e \right\}| \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} n\leq m-1+1=m \end{eqnarray*}$

Wenn das nicht richtig ist, wo liegt mein Denkfehler genau!

mfg
natural

04.08.2011, 18:34

natural

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Ich bin mir nicht ganz so sicher verwirrt

, aber kann es sein das sich niemand an meine Frage heranwagt, weil ich mich unklar formuliert habe?

04.08.2011, 22:34

IfindU

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Deine erste Aussage ist schon falsch:

Betrachten wir nochmal die Gruppe $\begin{eqnarray*} \{ i, -i, 1, -1\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} i^5 = i^1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \{i, i^2, i^3, i^4, i^5 \} \neq \{ i \} \end{eqnarray*}$ .

Der ganze Satz sagt ja im Prinzip folgendes aus:
Du brauchst nicht die Inversen von g explizit mit reinzunehmen in die Gruppe, da die Potenzen von g genau die Aufgabe erledigen. Und man zeigt dann, dass sich alle m Elemente alle Elemente wiederholen. Da aber die Gruppe n Elemente hat, darf es sich erst wiederholen, wenn alle n Gruppenelemente durchlaufen sind (Die Gruppe hat nach Annahme n Elemente) => m = n.

04.08.2011, 22:59

Dirktator

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Zitat:

Original von natural

3)- Kann es sein, dass dann $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}|=n=m-1 \end{eqnarray*}$ ist, weil einerseits $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{j} \right\}|=n=| \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}| \end{eqnarray*}$ und anderseits weil $\begin{eqnarray*} r\in \left\{ 0,1,...,m-1\right\} \end{eqnarray*}$ ist und somit $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}| \end{eqnarray*}$ genau dann $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ Elemente haben muss. Also gilt erstmal für $\begin{eqnarray*} | <g>|=n=m-1 \end{eqnarray*}$ . Da aber die Gruppe $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} r+1 \end{eqnarray*}$ Elemente haben muss, damit sie sich ja wiederholt, müssen wir noch das $\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{r+1}=e \right\}|=1 \end{eqnarray*}$ hinzurechnen. Also ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{j} \right\}|\leq | \left\{ g^{0},g^{1},...,g^{r} \right\}|+| \left\{ g^{r+1}=e \right\}| \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} n\leq m-1+1=m \end{eqnarray*}$

Hallo,

da $\begin{eqnarray*} g^{r+1}=g^0=e \end{eqnarray*}$ , hat die Gruppe nicht r+2, sondern nur r+1 Elemente. Deine Aussage ist hier also nicht richtig.

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