Polynom zur Matrixexponentialfunktion finden

02.08.2011, 02:37

wdposchmann

Polynom zur Matrixexponentialfunktion finden

Hi an alle,

ich bin gerade darüber, folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \in M_3(R) \end{eqnarray*}$ .

(i) Bestimmen Sie eine invertierbare 3x3 Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P^{-1}AP \end{eqnarray*}$ diagonal.

(ii) Finden Sie ein Polynom $\begin{eqnarray*} p\in R[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e^A=p(A) \end{eqnarray*}$ .

Nummer (i) ist kein Problem, das ist einfach diagonalisieren der Matrix, wobei die Eigenvektoren die Matrix P bilden (habe ich berechnet und stimmt durch Nachrechnen auch).

Zu Nummer (ii): Da P berechnet wurde, kann $\begin{eqnarray*} e^A \end{eqnarray*}$ ja als $\begin{eqnarray*} Pe^DP^{-1} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden, wobei D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der Diagonalen ist). $\begin{eqnarray*} Pe^DP^{-1} \end{eqnarray*}$ kann man dann auch leicht berechnen. Wie komme ich nun aber auf das gesuchte Polynom?

Mein Ideen:
Konkrete Ideen fehlen mir leider, jedoch denke ich, dass das Ganze was mit dem charakteristischen bzw. Minimalpolynom der Matrix A zu tun hat, liege ich da richtig? Der Satz von Cayley-Hamilton besagt ja, dass jede Matrix Nullstelle ihres eigenen charakteristischen Polynoms ist. Von daher kann das ja schon mal nicht die Lösung sein. Bin für jeden Hinweis/Tipp dankbar!

Gruß

02.08.2011, 04:00

stevewilson

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Hi,

danke, das hat jetzt bei meinen Fragen sehr viel weitergeholfen.

Hast du damit für e^A auch folgendes raus?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e/2+e^3/2 & -1/(2 e)+e/2 & -1/(2 e)+e^3/2 \\ e/2-e^3/2 & 1/(2 e)+e/2 & 1/(2 e)-e^3/2 \\ -e/2+e^3/2 & 1/(2 e)-e/2 & 1/(2 e)+e^3/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe für P folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und für P^-1 das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu deiner Frage:

Man kann e^A über die Reihenentwicklung berechnen:

$\begin{eqnarray*} e^A=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Da kommt ja ein Polynom raus. Ich weiß nicht, ob du diese Definition der Matrix-Exponentialen hattest. Wenn man diese Definition nicht als Voraussetzung hat, dann weiß ich leider auch nicht wie das gehen soll. Denke das braucht man. Mit dem charakteristischen Polynom hat das nichts zu tun. Da haste schon recht. Cayley-Hamilton hast du gut zitiert.

02.08.2011, 13:12

wdposchmann

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Hi,

vielen Dank für deine Antwort! Ja, also ich hab zwar für P (und somit auch für die anderen Matrizen) was "anderes" raus, allerdings nur, weil ich die Spalten von P, sprich die Eigenvektoren, anders angeordnet habe. Das spielt ja aber keine Rolle, denn beides stimmt.

Nun zu deiner Antwort wegen des Polynoms:

Zitat:

Original von stevewilson

$\begin{eqnarray*} e^A=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Da kommt ja ein Polynom raus. Ich weiß nicht, ob du diese Definition der Matrix-Exponentialen hattest. Wenn man diese Definition nicht als Voraussetzung hat, dann weiß ich leider auch nicht wie das gehen soll. Denke das braucht man. Mit dem charakteristischen Polynom hat das nichts zu tun. Da haste schon recht. Cayley-Hamilton hast du gut zitiert.

Genau das kam mir dann gestern auch noch in den Sinn, weil ich mir gedacht habe, mit einem "normalen" Polynom kommt man da wohl nicht weit. Der einzige Grund der mich noch daran gehindert hat, das als Lösung anzusehen ist der folgende:

Ich dachte immer, Polynome müssen endlich sein. Stimmt das oder ist eine unendliche Reihe (wie sie ja auch die Exponentialreihe ist) auch ein Polynom. Denn wenn ja, dann hast du absolut recht und deine Antwort ist das gesuchte Polynom.

Gruß

02.08.2011, 16:08

stevewilson

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Danke fürs checken.

Ein gutes Argument. Vielleicht lässt sich das Polynom aber doch an bestimmter Stelle abbrechen, weil es ab einem bestimmten k konvergiert? Wenn ich z.B. an Taylorpolynome denke, können die ja auch unendlich. Oder heißt es dann nur noch Taylorreihe? Genau weiß ich es also auch nicht,
aber ich würde in so einer Aufgabe davon ausgehen, dass ein Polynom auch unendlich sein kann.

02.08.2011, 19:04

tmo

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Es geht mit einem endlichen Polynom (und auch nur solche sind zugelassen). Und wenn es mit einem endlichen geht, dann ist sofort klar (Wegen Cayley-Hamilton), dass eins vom Grad 2 reicht.

Man kann doch die Kunjugation nicht nur an der Exponentialfunktion vorbeiziehen, sondern an jedem Polynom.

D.h. $\begin{eqnarray*} p(A)=e^A \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} p(D)=e^D \end{eqnarray*}$ .

Und das stellt doch nun kein Problem mehr da.

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