Sylowsätze

02.08.2011, 20:30

Songuti

Auf diesen Beitrag antworten »

Sylowsätze

Hallo,
Ich habe gelesen, die Sylowuntergruppen bilden eine Klasse konjugierter Untergruppen.

Seien S1, S2 2 Sylowuntergruppen der Gruppe G der Ordnung p^n (p sei eine Primzahl).
Bedeutet die Aussage dann
S1=g * S2 * g^-1 für alle g aus G oder nur für ein g aus G?

VIele Grüße,

Marcus

02.08.2011, 20:35

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist im Allgemeinen nicht für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ richtig, da es ja auch noch weitere Sylowgruppen dieser Ordnung geben kann und dann muss es auch Gruppenelemente geben, die $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ auf diese weiteren Gruppen konjugieren.
Es handelt sich also bloß um eine Existenzaussage; d.h. es gibt Gruppenelemente, die eine der Sylowgruppen auf eine andere konjugieren.

02.08.2011, 20:36

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Ergänzung: Wenn es für alle g gilt, gilt es insb. für 1, also gibt es nur 1 Sylowuntergruppe der Ordnung p^n Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.08.2011, 20:50

Songuti

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau diese Aussage wollte ich mir klar machen. Und dachte als möglichen Ansatz dieses Korrolar zu verweden.
Also die Aussage, falls es nur eine p-Sylowuntergruppe gibt, so liegt diese normal in G. Ich wäre über Hinweise dankbar.

02.08.2011, 21:55

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Songuti
Also die Aussage, falls es nur eine p-Sylowuntergruppe gibt, so liegt diese normal in G.

Verstehe ich richtig, dass du diese Aussage zeigen willst? Das ist nicht sehr schwer. Nimm doch mal an, dass $\begin{eqnarray*} U\leq G \end{eqnarray*}$ die einzige $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Sylowgruppe ist. Was kannst du dann über $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ sagen? Was ist die Ordnung von $\begin{eqnarray*} gUg^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Eigentlich sollte es jetzt schon Klick gemacht haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.08.2011, 15:58

Songuti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das möchte ich zeigen.

Sei $\begin{eqnarray*} |G|=q*p^{m} \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} gSg^{-1} \leq S \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p^{m} = |S|<= |gSg^{-1}| <= p^{m} \end{eqnarray*}$
Also gilt die Gleichheit überall.
Aber dies gilt nur für ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ?

Anzeige

03.08.2011, 16:04

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |U|=|gUg^{-1}| \end{eqnarray*}$ , denn die Abbildung $\begin{eqnarray*} G\to G, ~ x\mapsto gxg^{-1} \end{eqnarray*}$ , also Konjugation mit einem beliebigen Gruppenelement, ist ein Automorphismus der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und Automorphismen erhalten die Ordnungen von Untergruppen.

03.08.2011, 16:30

Songuti

Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum kann ich aus gleicher Kardinalität die Gleichheit der Untergruppe bzw. dessen Konjugierte schließen?

03.08.2011, 17:22

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Regelfall ist dies nicht möglich, aber hier haben wir ja eine bestimmte Voraussetzung über Untergruppen dieser Ordnung gegeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.08.2011, 18:12

Songuti

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund des 2. Sylowsatzes? Dies gilt aber nur für ein g.

03.08.2011, 18:22

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, weil es nur eine p-Sylowgruppe gibt.

04.08.2011, 14:16

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat übrigens nichts mit Sylow zu tun. Gibt es nur eine Untergruppe (ganz gleich ob es eine p-Sylowuntergruppe ist oder nicht) der Ordnung n, dann muss diese normal sein.

04.08.2011, 15:44

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathinitus
Das hat übrigens nichts mit Sylow zu tun. Gibt es nur eine Untergruppe (ganz gleich ob es eine p-Sylowuntergruppe ist oder nicht) der Ordnung n, dann muss diese normal sein.

Und noch etwas allgemeiner: Gibt es nur eine Untergruppe von gegebenem Isomorphietyp (was ja beispielsweise von der Einzigartigkeit der Ordnung impliziert wird), so ist diese sogar charakteristisch.

04.08.2011, 15:47

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet charakteristisch? Wie ist das definiert?

04.08.2011, 15:58

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \leq G \end{eqnarray*}$ heißt charakteristisch in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ (man schreibt oft $\begin{eqnarray*} U ~ char ~ G \end{eqnarray*}$ ), falls für jeden Automorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \varphi(U)=U \end{eqnarray*}$ .

Man sieht leicht ein, dass jede charakteristische Untergruppe Normalteiler ist (da die Konjugationen mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe (sogar einen Normalteiler) der Automorphismengruppe bilden (bezeichnet mit $\begin{eqnarray*} Inn(G) \end{eqnarray*}$ )).

Im Gegensatz zu Normalteilern ist charakteristisch sein transitiv (i.e. $\begin{eqnarray*} U ~ char ~ H ~ char ~ G \Rightarrow U ~ char ~ G \end{eqnarray*}$ ) und es gilt desweiteren, dass charakteristische Untergruppen von Normalteilern selbst wieder Normalteiler der Gesamtgruppe sind.

04.08.2011, 16:07

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das ist interessant. Also haben wir, dass sowohl die {1} als auch G selbst nicht nur normale sondern sogar charakteristische Untergruppen sind.

04.08.2011, 16:23

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Genauso sind $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ charakteristische Untergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

(Falls dir der Begriff der $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ -Gruppe vertraut ist: Die charakteristischen Untergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sind genau die $\begin{eqnarray*} Aut(G) \end{eqnarray*}$ -zulässigen Untergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ )

04.08.2011, 17:44

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn G'?

04.08.2011, 17:48

Manus

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kommutatoruntergruppe $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ ist die Untergruppe die erzeugt wird von allen $\begin{eqnarray*} \left[g,h\right]:=ghg^{-1}h^{-1} ~ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g,h ~ \in ~ G \end{eqnarray*}$ . Diese ist der kleinste Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe.

04.08.2011, 17:51

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, die kenne ich schon, nur wusste ich nicht, dass man sie auch G' nennt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »