komplizierter Grenzwert

02.08.2011, 20:45

flixe

komplizierter Grenzwert

hallo,
ich hab hier grad arge probleme bei einer aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{ax} }{x^{\beta } } , \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit a größer 0

l'hospital scheidet hier denk ich mal aus, da man nich weiß wie oft man ihn verwenden kann.

deswegen zwei fragen:
1. wie finde ich obigen grenzwert?
2. gibt es noch andere "regeln" wie l'hospital für grenzwerte?

thx für eure hilfe!

02.08.2011, 21:25

Auli

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Hallo dieser Grenzwert ist gar nicht so schwer. Generell kannst du dir merken, dass die e-Fkt immer schneller wächst als ein Polynom mit festem koeffizienten (in diesem Fall beta). Du kannst diesen Grenzwert schon mit l'Hopital berechnen, überleg mal was du machen musst bis ein eindeutiger ausdruck rauskommt. Zweite Möglichkeit ist über die Reihenentwicklung von der E-Fkt.

02.08.2011, 22:41

flixe

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hmm also finde das ding ist schon ne harte nuss.

also die musterlösung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} Fuer \beta \geq 0 folgt nun: \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{a x} }{x^{\beta } } \right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{\frac{a}{\beta } x} }{x } \right)^{\beta } = \infty \end{eqnarray*}$

diese lösung kapier ich irgendwie nich so ganz, wieso können die das einfach so hinschreiben?

und bei l'hospital? habe mal versucht dabei ein schema zu entdecken, wenn man den satz beta-mal anwendet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{ax} }{x^{\beta } } = \lim_{x \to \infty } \frac{a^{\beta}e^{ax} }{\beta(\beta -1)...(\beta -(\beta -1)) } = \infty \end{eqnarray*}$

kann das sein? unten steht dann ja quasi ein fester wert, wenn das wegfällt.

03.08.2011, 00:42

andras92

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Du kannst den l'Hôpital zweimal anwenden. Der Grenzwert einer Konstanten hier ist sie selbst.

03.08.2011, 08:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von flixe
$\begin{eqnarray*} Fuer \beta \geq 0 folgt nun: \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{a x} }{x^{\beta } } \right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{\frac{a}{\beta } x} }{x } \right)^{\beta } = \infty \end{eqnarray*}$

Hier reicht das einmalige Anwenden von l'Hospital auf den Ausdruck in der Klammer.

Zitat:

Original von flixe
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{ax} }{x^{\beta } } = \lim_{x \to \infty } \frac{a^{\beta}e^{ax} }{\beta(\beta -1)...(\beta -(\beta -1)) } = \infty \end{eqnarray*}$

Das funktioniert natürlich nur, wenn beta ganzzahlig ist.

03.08.2011, 11:23

flixe

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Hier reicht das einmalige Anwenden von l'Hospital auf den Ausdruck in der Klammer.

aha, wusste zum beispiel bis jetzt noch gar nicht, dass man die regel auf brüche anwenden kann, die in einer klammer stehen.

Zitat:

Original von andras92
Du kannst den l'Hôpital zweimal anwenden. Der Grenzwert einer Konstanten hier ist sie selbst.

hmm, das kapier ich nicht, wieso denn zweimal? könntest du das genauer erklären?

03.08.2011, 11:43

Auli

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Zitat:

Original von flixe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Hier reicht das einmalige Anwenden von l'Hospital auf den Ausdruck in der Klammer.

aha, wusste zum beispiel bis jetzt noch gar nicht, dass man die regel auf brüche anwenden kann, die in einer klammer stehen.

Das ist eine Folgerung aus dem Grenzwertsatz hier:
Klick

03.08.2011, 14:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Auli
Das ist eine Folgerung aus dem Grenzwertsatz hier:
Klick

Na ja.

Eher ist es eine Eigenschaft stetiger Funktionen. Wenn f stetig ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) \end{eqnarray*}$

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