Wendestellen und lokale Extrema der Funktionen x^7 + x^3 und x^2 * e^x berechnen |
| 03.08.2011, 12:03 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wendestellen und lokale Extrema der Funktionen x^7 + x^3 und x^2 * e^x berechnen Ich möchte gerne die Wendestellen und lokalen Extrema der Funktionen f: x^7+x^3 und g:x^2*e^x berechnen. Meine Ideen: Zunächst einmal habe ich jeweils die ersten drei Ableitungen gebildet: f'= 7x^6+3x^2 f''= 42x^5+6x f'''= 210x^5+6 g'= x^2*e^x+2xe^x g''= x^2*e^x+4xe^x+2e^x g'''= x^2*e^x+6xe^x+6e^x f ist 7 mal differenzierbar und f^7 ist ungleich 0, daher liegen meines Erachtens keine Extremstellen vor. Mein Problem sind jetzt die Wendestellen, also die Nullstellen x0 von f''. Hier soll Vorraussetzung sein, dass f'' in x0 einen Vorzeichenwechsel hat. Das verstehe ich anschaulich sehr gut, mit dem Wechsel konvex/konkav, aber wie kann ich das mathematisch überprüfen? Wie wähle ich die Abstände zu x0? g ist unendlich oft differenzierbar, hier greift meine Definition für Extremstellen nicht und ich komme nicht weiter... ohne Idee! Auch die Wendepunkte (von denen ich rein anschaulich bezweifele das sie existieren) kann ich nicht berechnen, da g''=0 nicht lösbar ist. Kann mir jemand einen zur Lösung entscheidenden Tipp geben? |
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| 03.08.2011, 12:12 | Gast77788 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Wendestellen und lokale Extrema der Funktionen x^7 + x^3 und x^2 * e^x berechnen Vorzeichenwechsel bedeutet, dass der Funktionswert f'' vor dem x0 und nachdem ex0 einmal positiv und einmal negativ sein muss. |
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| 03.08.2011, 12:48 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Wendestellen und lokale Extrema der Funktionen x^7 + x^3 und x^2 * e^x berechnen Meine Frage war nicht, was Vorzeichenwechsel bedeutet, das ist mir schon klar! Wie wähle ich ein d<0 für das gilt: f'' (x) >0 x Element ]x0-d, x0[ und f'' <0 für x Element ]x0, xo+d[ oder f'' (x) <0 x Element ]x0-d, x0[ und f'' >0 für x Element ]x0, x0+d[ |
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| 03.08.2011, 15:08 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe dein Problem nicht ganz. Es ist Das Vorzeichen dieses Terms ist doch offensichtlich oder nicht? Abgesehen davon sind die Wendestellen auch mit der Schulmathematik problemlos durch Einsetzen der Nullstellen in die dritte Ableitung bestimmbar. |
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| 03.08.2011, 16:19 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mein Problem ist auch nicht das Vorzeichen der 2. Ableitung. ich denke mich hat an dieser Stelle die Definition im Skript ein wenig verwirrt. Das Wendestellenproblem ist aus der Welt, vielen Dank. f hat demnach einen Wendepunkt bei x = 0, da f''(0) = 0 und f'''(0) ungleich 0. f hat keine Extrempunkte, ist meine Begründung richtig? für die Wendepunkte von g müsste ich dafür g''(x) = 0 setzten, also x^2*e^x+4xe^x+2e^x = 0 also e^x (x^2+4x+2) =0 also x1= sqrt2-2 und x2= -sqrt2-2, da g'''(x1) ungleich 0 und g'''(x2) ungleich 0 sind dann zwei wendepunkte bei x1 und x2. Soweit richtig? Wie zeige ich hier die Extremstellen? Zeichnerisch habe ich sie bei x=-2 (lok. Maximum) und bei x=0 (lok. Minimum) detektiert. |
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| 03.08.2011, 23:30 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mir ist nicht klar, was die siebte Ableitung in der Begründung zu suchen hat. Es gibt meines Wissens einen Satz, der besagt, dass die erste Ableitung, die im betreffenden Punkt nicht verschwindet, entscheidend ist. Aber die siebte ist nicht die erste mit dieser Eigenschaft. Einfacher wäre auch hier ein Bezug auf das Vorzeichen: |
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| 04.08.2011, 09:34 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich berufe mich auf den Satz : Die Funktion f sei in ]a, b[ n–mal differenzierbar (n >= 2). An der Stelle x0 Element ]a, b[ gelte f'(x0) = f''(x0) = . . . = f^(n-1)(x0) = 0 und f^(n)(x0) ungleich 0. Ist n eine gerade Zahl und gilt f^(n)(x0) < 0 [f^(n)(x0) > 0], so hat f an x0 ein lokales Maximum [lokales Minimum]. Ist n ungerade, liegt an der Stelle x0 kein Extremum vor. Also genau was du vermutet hast mit der Erweiterung n gerade /ungerade. Da nun f sieben mal diffbar ist mit f^(7) ungleich 0 gilt doch dieser Satz oder nicht? Dein Vorschlagt ist aber natürlich deutlich einfacher umzusetzen, bereitet mir aber bei der Abbildung g Schwierigkeiten: g'= e^x(x^2+2x) ist nicht immer >=0. In diesem Fall muss ich also die Exremstellen bei -2 und 0 zeigen und komme mit meinem Satz nicht weiter. |
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| 04.08.2011, 09:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Satz ist in Ordnung und damit kannst du auch die Funktion g behandeln. |
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| 04.08.2011, 11:37 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bist du da sicher? Was ist denn n wenn g unendlich oft diffbar ist? Und wie wähle ich mein x0? Durch probieren? |
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| 04.08.2011, 11:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun mal langsam. Es geht doch um die Frage, ob eine Funktion Extrema hat. Dazu bestimmt man die Nullstellen der ersten Ableitung. Und diese werden dann weiter mit höheren Ableitungen untersucht. Übrigens sind die "meisten" Funktionen wie Polynome oder Exponentialfunktionen unendlich oft differenzierbar. Und das stellt an sich kein Problem dar. Im Gegenteil. |
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| 04.08.2011, 12:03 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist ja g'(0)=0, g''(0)=2, also ist n=2 gerade und mit 2>0 liegt ein lok. Minimum vor. oder g'(-2) =0, g''(-2)= -0.27, also wieder n=2 gerade und -0.27<0, also ein Maximum. Ich glaube langsam ist alles "klar soweit" :-) |
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| 04.08.2011, 12:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Und so sieht das aus: |
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| 04.08.2011, 12:29 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
super, ein Licht geht auf! Du bist wirklich eine gute Hilfe, da hab ich fast das Gefühl ich wäre von selbst drauf gekommen :-) Ich habe noch tausend Fragen, beschränke mich aber mal auf vier: Gilt immer, wenn f'(x)>= 0 ->kein Extremwert? Gilt auch die Umkehrung? Habe ich die Wendestellen richtig berechnet? Wie schreibst du die schönen mathematischen Zeichen und Exponenten bzw. Indizes? |
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| 04.08.2011, 12:33 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich trag noch einmal etwas nach: Der Satz von oben ist schon der, den ich meinte. Aber Du hast ihn falsch angewendet (was klarsoweit anscheinend entgangen ist). Denn es ist und somit Wenn Du Dich auf die siebte Ableitung berufst, sind die Voraussetzungen des Satzes nicht mehr erfüllt. Du musst also über die dritte Ableitung argumentieren. |
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| 04.08.2011, 13:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nur wenn f'(x) ungleich Null ist, gibt es keine lokale Extremstelle. Umgekehrt: Wenn es eine lokale Extremstelle gibt, dann ist dort f'(x)=0
Im Prinzip ja, wobei mir bei der Funktion g die genaue Rechnung mit der 3. Ableitung fehlt.
Beispiele für den Latexcode kannst du bei Helferlein kopieren. |
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| 04.08.2011, 13:21 | matten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bedanke mich herzlichst bei euch beiden für die kompetente Hilfe! Vielen vielen Dank 
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