Poincarés Lemma (lokal & global) |
| 03.08.2011, 12:35 | Diddi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Poincarés Lemma (lokal & global) Hallo, also ich weiß, was Poincarés Lemma aussagt, daß nämlich in einem sternförmigen Gebiet jede stetig differenzierbare geschlossene k-Form eine Stammfunktion besitzt. In der Vorlesung ist aber immer von "lokaler Variante des Lemmas von Poincaré" und der "globalen Variante" die Rede. Worum handelt es sich da jeweils?? Meine Ideen: ... |
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| 03.08.2011, 13:23 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Poincarés Lemma (lokal & global) Ich weiß auch nicht so genau, wie man das Lemma global und lokal definiert. Ich habe gerade in meinen Mitschriften gesehen, daß wir den Cauchy'schen Integralsatz als globale Variante des Lemmas von Poincaré bezeichnet haben... Ich kann Dir aber nicht sagen, wieso... |
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| 03.08.2011, 13:31 | sergej88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, In der mir bekannten allgemeinsten Fassung würde das Lemma ja besagen, dass jede geschlossene k-Form auf einem einfach zusammenhängenden Bereich auch exakt ist. Sternförmige, konvexe unw. Mengen sind nunmal einfach zusammenhängend. Nimmst du dir jetzt eine k-Form auf einer offenen Menge her. So muss der Def. Bereich ja nicht einfach zusammenhängend sein. Du könntest diesen aber verkleinern, so wie in der Funktionentheorie, um eben dieses zu erreichen. Zum Beispiel berachtest du dann offene Kugeln innerhalb des Def.Bereiches. Diese sind einfach zshgnd. also lässt sich auf die Eingeschränkte k-Form obiges Lemma anwenden. Genauer könntest du zu jedem Punkt aus dem Def.Bereich eine solche Kugel betrachten und hättest auf jeder solcher Kugeln eben eine Stammfunktion. Diese ist dann aber nur lokal gegeben, eben nur auf einer Kugel um den ausgezeichneten Punkt. Das könnte man jetzt formulieren als Existenz von lokalen Stammfunktionen. mfg |
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| 03.08.2011, 14:25 | Diddi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es handelt sich also um ein und dieselbe Aussage, nur, daß sie lokal oder global gelten kann. Man könnte also sagen: Die lokale Variante des Lemmas geht von einem Definitionsbereich aus, der nicht unbedingt einfach zusammenhängend ist, auf den man aber, beispielsweise, indem man lokal Kugeln (einfach zusammenhängend) betrachtet, die Aussage des Lemmas durchaus anwenden kann. Die globale Variante des Lemmas geht dann vermutlich von einem ohnehin einfach zusammenhängenden Definitionsbereich aus; die Aussage des Lemmas gilt dann eben auf dem gesamten Definitionsbereich. An Dennis2010: [Das würde auch erklären, warum man den Cauchy'schen Integralsatz in Verbindung mit der globalen Variante bringt: So, wie ich den Cauchy'schen Integralsatz kenne, wird dort nämlich ein einfach zusammenhängendes Gebiet als Definitionsbereich einer holomorphen Funktion vorausgesetzt. Der Cauchy'sche Integralsatz ist also nicht die globale Variante des Lemmas von Poincaré, sondern verwendet diese.] |
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| 03.08.2011, 14:32 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das klingt logisch. Ich bin Dir sehr dankbar, daß Du diese Frage gestellt hast, Diddi22. Ich hatte diese Frage nämlich auch und glaube, daß ichs jetzt verstanden habe, wieso man diese Unterscheidung zwischen lokal & global trifft und inwiefern das beispielsweise beim Integralsatz von Cauchy angewandt ist. 
Edit: Achja, natürlich auch danke an sergej88. Das hätte ich ja beinahe vergessen, dabei hast Du doch für Aufklärung gesorgt. 
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| 03.08.2011, 15:47 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@sergej:
Das gilt aber nur für 1-Formen so allgemein. z.B. gibt es in für n > 2 durchaus (n-1)-Formen, welche geschlossen, aber nicht exakt sind (der Raum ist Homotopie-äquivalent zu und die Kohomologie von letzerem ist ). Die Voraussetzung für die allgemeinste Version des Poincaré Lemmas ist von daher eher sowas wie "Ist X kontrahierbar, dann ...". Ersetzt man aber überall einfach zshgd. durch kontrahierbar bei deinem Post, dann denke ich auch, dass das gemeint sein könnte. |
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| 03.08.2011, 16:41 | sergej88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, ich wusste doch da war mal was... Hatte bisher nur die Version mit 1Formen benutzen müssen, aber danke, merk ich mir mfg |
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