Zweige des Komplexen Logarithmus (Integration)

03.08.2011, 16:21

maxilorent

Zweige des Komplexen Logarithmus (Integration)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

bekanntlich hat der komplexe Logarithmus ja mehrere Zweige. Aus der Definiton des Hauptzweiges des komplexen Logarithmuses $\begin{eqnarray*} Log(z) = log(|z|)+i*arg(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} arg(z)\in[-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ wird nun ersichtlich, dass der Logarithmus nicht nur für 0 nicht definiert ist, sondern auch für die komplexe negative reele Achse, da das Argument des Logarithmuses dort von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} +pi \end{eqnarray*}$ springt.

Nun sei aber z.B. $\begin{eqnarray*} \Gamma=-1-i\cdot t,t\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ eine Kurve, die die negative reele Achse schneidet. Integriert werden solle z.B. über $\begin{eqnarray*} \underset{\Gamma}{\int}\frac{1}{z}dz \end{eqnarray*}$ . Für den Hauptwert des Logarithmuses ist bekannt, dass seine Stammfunktion log(|z|) ist. Das Problem ist, dass ich nun bei dieser Kurve ja nicht einfach die Grenzen -1 und 1 einsetzen darf, da ich ja theoretisch die negative reele Achse mit meiner Kurve schneide. Trotzdem kommt aber das richtige Ergebnis raus.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ich das Problem lösen könnte, wenn ich das Intervall von $\begin{eqnarray*} arg(z)\in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ verändere. Dann wäre die unstetigketi auf die positive reele Achse verlagert worden. Meine Frage ist aber ob man das darf und falls ja, wie man das korrekt mathematisch aufschreibt.

Danke für eure Hilfe

03.08.2011, 18:00

jester.

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Die Wahl des Argumentbereichs $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ für den Hauptzweig des Logarithmus ist völlig willkürlich. Jedes andere halboffene (!) Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ funktioniert genauso gut.
Man trifft hier also die Wahl, die du vorgeschlagen hast und hat damit auf der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}-\{z\in\mathbb{R} ~|~ z\geq 0\} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} z\mapsto \frac 1 z \end{eqnarray*}$ . So kann man dann das Integral durch Einsetzen des Anfangs- und Endpunktes von $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ berechnen.

03.08.2011, 18:24

maxilorent

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Super danke dir. Dann lag ich mit meinen Gedanken also richtig.

Hast du auch noch eine Idee, wie man das formal mathematisch korrekt aufschreiben könnte?

03.08.2011, 18:29

jester.

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Na ja, man schreibt eben kurz, dass man sich etwa eine Funktion $\begin{eqnarray*} {\rm Log}^* ~:~ \mathbb{C}-[0,\infty) \to \mathbb{C}, ~ z\mapsto \ln(|z|)+i{\rm Arg}^*(z) \end{eqnarray*}$ mit derjenigen Argumentfunktion $\begin{eqnarray*} {\rm Arg}^* \end{eqnarray*}$ definiert, die als Wertebereich $\begin{eqnarray*} (0,2\pi] \end{eqnarray*}$ hat. Diese Funktion ist dann auf dem angegebenen Definitionsbereich holomorph mit Ableitungsfunktion $\begin{eqnarray*} z\mapsto \frac 1 z \end{eqnarray*}$ .
Zitiere dann noch ein Buch oder Skript deiner Wahl, in dem steht, dass man den Wert des Integrals erhält, indem man diese Stammfunktion am Anfangs- und Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ auswertet und führe die entsprechende Rechnung durch.

Man muss also wirklich nicht viel dazu schreiben. Und "formal mathematisch korrektes Aufschreiben" ist nunmal in der Regel ein erklärender Text.

03.08.2011, 19:37

maxilorent

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Danke dir nochmals.
Damit hast du mir sehr geholfen.

03.08.2011, 19:45

Huggy

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RE: Zweige des Komplexen Logarithmus (Integration)

Zitat:

Original von maxilorent
Trotzdem kommt aber das richtige Ergebnis raus.

Wieso meinst du, da kommt das richtige Ergebnis heraus?

Berechnet man das Kurvenintegral, erhält man $\begin{eqnarray*} -i\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Dagegen ist

$\begin{eqnarray*} ln(-1+i)-ln(-1-i)=i\frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$

mit der Definition des Hauptwertes, wie er nun mal definiert ist.

Natürlich ist die Definition des Hauptwertes willkürlich und man hätte ihn auch anders definieren können, sodass man für diesen Fall das richtige Ergebnis bekommt. Dann hätte es in anderen fällen nicht gestimmt.

04.08.2011, 00:26

jester.

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RE: Zweige des Komplexen Logarithmus (Integration)

Zitat:

Original von Huggy
Berechnet man das Kurvenintegral, erhält man $\begin{eqnarray*} -i\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ als Gerade von $\begin{eqnarray*} -1+i \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} -1-i \end{eqnarray*}$ verstanden. Damit erhält man $\begin{eqnarray*} \int_\Gamma \frac {\dd z}{z}= i\frac\pi 2 \end{eqnarray*}$ .
@maxilorent: Beachte also die Orientierung des Integrationsweges!

Edit: Tippfehler behoben

04.08.2011, 08:12

Huggy

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RE: Zweige des Komplexen Logarithmus (Integration)
Ja, die Gerade war anders herum gemeint. Das ändert nichts daran, dass das Kurvenintegral nicht mit der Differenz der Hauptwerte der Logarithmen an den Endpunkten übereinstimmt.

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