N-te Ableitung von f(x) = xln(x)

04.08.2011, 02:38

Cybron

N-te Ableitung von f(x) = xln(x)

Hallo,

Gegeben
$\begin{eqnarray*} \ f(x) = x * ln(x) \ \end{eqnarray*}$
Gesucht: n-te Ableitung für eine Taylorreihe an der stelle 1

$\begin{eqnarray*} \ f(x) = x * ln(x) \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f'(x) = 1 + ln(x) \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f''(x) = x^{-1} \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f'''(x) = (-1) * 1 * x^{-2} \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f''''(x) = 1 * 2 * x^{-3} \ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f^n(x) = (-1)^{n} * (n-2)! * x^{1+n} \ \end{eqnarray*}$

leider trifft meine n-te Ableitung erst ab der 2 Ableitung, wüsste gerade nicht weiter.

04.08.2011, 02:42

Dustin

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Hallo Cybron,

1. Leider ist schon die 1. Ableitung falsch. Bitte nochmal ansehen.

2. LaTex- Potenzen in geschweifte Klammern! x^{-1} statt x^(-1), dann klappt's!

3. Wenn du die Ableitungen hast, muss ja noch x=x_==1 eingesetzt werden...

VG Dustin

04.08.2011, 02:56

Cybron

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habe oben ein paar änderungen vorgenommen, sitze aber noch immer
auf dem schlauch. das ln in der ersten ableitung nervt.

04.08.2011, 03:04

Dustin

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In der allgemeinen Formel in der untersten Zeile muss es x^{1-n} statt x^{1+n} heißen.

Und zu dem nervenden ln: Du hast meine Anmerkung 3. noch nicht genügend gewürdigt Augenzwinkern

04.08.2011, 03:35

Cybron

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Zitat:

Original von Dustin
In der allgemeinen Formel in der untersten Zeile muss es x^{1-n} statt x^{1+n} heißen.

Und zu dem nervenden ln: Du hast meine Anmerkung 3. noch nicht genügend gewürdigt Augenzwinkern

Ich dachte der 3. Punkt kommt beim aufbauen der Taylorreihe oder hab ich da missverstanden, jedenfalls ist mir noch immer nichts eingefallen.

Kann es sein dass ich in der ersten Ableitung einfach folgendes schreiben darf?

$\begin{eqnarray*} \ x^{-0} bzw. 1 \ \end{eqnarray*}$

dann klappt aber mein Bildungsgesetz noch immer nicht, wegen der Fakultät.

04.08.2011, 03:53

Dustin B.

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Also du suchst jetzt erst einmal eine allgemeine Formel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ ?
Da musst du eben eine Fallunterscheidung machen und das so hin schreiben:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot ln(x), n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+ln(x), n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n}\cdot (n-2)!\cdot x^{1-n}, x\geq 2 \end{eqnarray*}$

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