Welches Konvergenzkriterium zu welcher Reihe?!

04.08.2011, 15:28	stud3nt	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Konvergenzkriterium zu welcher Reihe?! Hallo, ich komme bei den Reihen einfach nicht mehr weiter. Wenn ich eine Reihe vor mir habe und sie auf Konvergenz überprüfen muss, weiss ichnicht mehr weiter. Manchmal klappt es beim ersten Versuch, dass ich das Quotientenkriterium nehme und einen Wert \|x\|< 1 kriege. Das ist dann meistens Zufall, dass ich beim ersten mal das richtige Kriterium erwische. Gibt es da einen Trick oder eine Vorgehensweise welches Kriterium man benutzt? Weil ich kann in der Klausur unmöglich alle Kriterien durchrechnen!
04.08.2011, 15:38	Ravenlord	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das macht die Übung. Ein Rezept gibt es leider nicht. Während sich Reihen mit Polynomen als Zähler und Nenner gerne abschätzen lassen und man somit eine Majorante findet, bietet sich bei Reihen mit Fakultäten oft das Quotientenkriterium an. Bei Reihen mit einem Logarithmus kann man oft das Verdichtungskriterium verwenden. Auch bei Reihen der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a}{k+b} \end{eqnarray}$ für a,b fest und positiv bietet sich das Verdichtungskriterium an. Vielleicht brauchst du einfach ein paar Übungsaufgaben... (a) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(n\pi)}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} sin^2(\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} cos(n\pi) (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \end{eqnarray}$ (e) $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\cdot log^2(n)} \end{eqnarray}$ Wenn du Zeit hast, können wir die ja mal besprechen. Auch hier im Forum finden sich noch ziemlich viele Reihen.
04.08.2011, 15:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Übung, Übung, Übung. Mit der Zeit entwickelt man ein Gespür dafür, welches Kriterium man wann anwenden sollte. Eine feste "Regel" gibt es aber nicht, das hängt auch stark von der Art der Reihe ab (kommt der Reihenindex als Exponent vor? Wurzelkriterium könnte (!) funktionieren, bei Binomialkoeffizienten kommt man häufig mit dem Quotienkriterium weiter).
04.08.2011, 15:47	stud3nt	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Danke für die schnellen Antworten. Hab mir schon gedacht, dass es kein Rezept gibt.
04.08.2011, 18:15	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will mal meine Tipp geben. Wenn du von vornerein erkennst, dass es sich um eine Potenzreihe handelt, dann natürlich die entsprechende Untersuchung durchführen. Sollte das nicht der Fall sein, kannst du dich daran richten, ob du vieles vom Typ x^n in der Reihe hast. Mit dem Wurzelkriterium kürzt sich das n häufig weg. Hast du Fakultäten drin, lohnt es sich oftmals das Quiotientekriterium anzuwenden, weil sich auch hier gerne mal die Fakultäten kürzen. Größtenteils zählt natürlich das Auge des Könners und da hilft, wie schont gesagt, nur üben :=)

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