Symmetrische Gruppe, Beweis

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Auli Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe, Beweis
Hallo!
Hab hier ne kleine Aufgabe für die ich dummerweise keine Lösung habe.
Die b) ist mit der a) nicht so das Problem. Allerdings komme ich bei der a) partout nicht weiter, obwohl man ja bei der Aufgabenstellung eigentlich nicht so viele unterschiedliche Sachen machen kann....

Meine Ideen
Da existiert für jedes ein , sodass gilt:
, ist das neutrale Element der symmetrischen Gruppe.
Sei so gilt, weil n.V. f ein Homomorphismus ist:
weiter gilt weil f Homomorphismus ist:

Daraus folgt:

da muss oder gelten.
irgendwie hilft mir das aber leider nicht weiter unglücklich , weil ich den Fall k = m nicht abdecken kann.
[attach]20760[/attach]


Gruß
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir einmal, was die Aussage für den Kern von f bedeutet.
 
 
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich ja schon, es muss sein, aber da bin ich dann auch nicht weiter gekommen...
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Auli
Hab ich ja schon, es muss sein, aber da bin ich dann auch nicht weiter gekommen...


Kannst du diese Aussage einmal präzisieren? Der Kern muss bestimmt nicht sein.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Zitat:
Original von Auli
Hab ich ja schon, es muss sein, aber da bin ich dann auch nicht weiter gekommen...


Kannst du diese Aussage einmal präzisieren? Der Kern muss bestimmt nicht sein.

Kann ich dann offensichtlich nicht... ich habe mir überlegt:

also dachte ich wäre der Kern, auch wenn das irgendwie jetz so gesagt für mich selbst komisch klingt...
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn Kern definiert?
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Alle , für die gilt
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Menge aller Elemente, die auf 0 abgebildet werden. Also ist der Kern schon einmal kein Element von , wie zum Beispiel , sondern eine Teilmenge von . Außerdem weißt du, dass für jedes die Aussage gilt. Welche Untergruppe von gehört also auf jeden Fall zum Kern (ist Teilmenge des Kerns)?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

@mathinitus: Worauf willst du hinaus? verwirrt

Du sagst "Außerdem weißt du", obwohl das doch gerade genau das ist, was er zeigen will. Oder bin ich hier gerade auf dem falschen Dämpfer? verwirrt

@Auli: Man muss hier ja irgendwie eine bestimmte Eigenschaft der symmetrischen Gruppe ins Spiel bringen, die sonstige Gruppen so nicht haben. Z.b. lässt sich jede Permutation als Produkt von Transpositionen schreiben.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

@mathinitus: Diejenigen für die gilt:

@tmo: Ich weiss leider auch nicht worauf er hinauswill, aber manchmal kann man ja den Rückschluss machen wenn einem klar wird, was für diese pis gelten muss.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
@mathinitus: Worauf willst du hinaus? verwirrt

Du sagst "Außerdem weißt du", obwohl das doch gerade genau das ist, was er zeigen will. Oder bin ich hier gerade auf dem falschen Dämpfer? verwirrt


Ich wollte das zu Zeigende so umformen, so dass man letzendlich eine äquivalente Aussage zeigt, nämlich dass der Kern jedes Gruppenhomo. von nach die Untergruppe hat.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Zitat:
Original von tmo
@mathinitus: Worauf willst du hinaus? verwirrt

Du sagst "Außerdem weißt du", obwohl das doch gerade genau das ist, was er zeigen will. Oder bin ich hier gerade auf dem falschen Dämpfer? verwirrt


Ich wollte das zu Zeigende so umformen, so dass man letzendlich eine äquivalente Aussage zeigt, nämlich dass der Kern jedes Gruppenhomo. von nach die Untergruppe hat.

Okay udn wie hilft mir das für alle Permutationen der Symmetrischen Gruppe?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern ist ja normale Untergruppe von , was kennst du denn für normale Untergruppen von ?

Edit: Den Weg mit den Transpositionen, den tmo vorgeschlagen hat, finde ich aber viel besser als meinen.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Der Kern ist ja normale Untergruppe von , was kennst du denn für normale Untergruppen von ?

Gar keine, so tief bin ich nicht in der Materie, kann mir im Moment auch keine vorstellen.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Auli
Zitat:
Original von mathinitus
Der Kern ist ja normale Untergruppe von , was kennst du denn für normale Untergruppen von ?

Gar keine, so tief bin ich nicht in der Materie, kann mir im Moment auch keine vorstellen.


Gar keine ist falsch, aber machs mit den Transpositionen, das ist einfacherer und man muss auch nicht tief in die Materie einsteigen. Drücke einfach als Produkt von Transpositionen aus und jag dieses Produkt durch f.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ich lag gestern im Bett und hab noch Mal über den Tipp mit den Transpositionen und deren Eigenschaften nachgedacht und dann isses mir wie Schuppen von den Augengefallen....

Sei so gibt es eine Verknüpfung von n Transpostionen , sodass gilt: für alle Transpositionen gilt weiter, dass

Es gilt (Homomorphismeneigenschaften und Kommutativität der Addition in der Restklassengruppe werden ohne explizite Nennung vewendet):
wzbw

Danke für eure Hilfe!
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so sieht es aus. Was bedeutet das nun, wenn m ungerade ist?
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiss ich wiederum leider nicht(und sehe ich auch nicht)
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die Abbildung f höchstgradig nicht injektiv Wink
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