Unäre Zahlendarstellung unmöglich?

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Klocke Auf diesen Beitrag antworten »
Unäre Zahlendarstellung unmöglich?
Meine Frage:
Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe, in der es gilt für verschiedene Zahlen die Anzahl der zur Darstellung benötigten Stellen in einem bestimmten Darstellungssystem festzustellen.

Die erste Frage bezieht sich auf die unäre Darstellung von 0 beziehungsweise n.

Meine Ideen:
Ich komme komischerweise zu dem Ergebnis, dass man nur genau eine Zahl unär darstellen kann.
Nehmen wir an, mein Zeichen wäre: _
Will ich jetzt 5 darstellen, so bliebe mir nur die Möglichkeit _ zu schreiben.
Bei 0 das gleiche. Und einhundert wäre auch _ Weil ich ja nur _ habe. Meinetwegen kann ich auch _____ schreiben. Da es aber nur ein Zeichen gibt und kein Vergleichsobjekt habe ich immer das gleiche Problem.

Möchte ich eine Zahl tatsächlich ohne Informationsverlust darstellen, brauche ich doch mindestens zwei Zeichen, das Zeichen "_" und das Nichtzeichen " " sollen nun meine zwei Zeichen sein. Jetzt kann ich 5 darstellen: - - - - - und auch 0 ist darstellbar: , weil ich jetzt einen Vergleich anstellen kann. Jetzt ist es aber binär.

Habe ich nun Recht und man kann den ersten Aufgabenteil nicht lösen oder habe ich da einen Denkfehler?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

0=I
1=II
2=III
3=IIII
...

das ist doch eine prima unäre Darstellung aller mit nur einem Zeichen "I". Die Zahlen sind gut lesbar und wohlunterschieden.
Mecky Auf diesen Beitrag antworten »

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII ist nicht gut lebar Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, geht noch und ist eindeutig. Unäre Darstellung für 23451234523*562345612424 wäre etwas aufwändiger. Augenzwinkern
Klocke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
0=I
1=II
2=III
3=IIII
...

das ist doch eine prima unäre Darstellung aller mit nur einem Zeichen "I". Die Zahlen sind gut lesbar und wohlunterschieden.


Du hast vollkommen Recht. Nach Rücksprache mit einem Kollegen habe ich erfahren, dass es genau so gemeint war. Für meine Übung ist das also die korrekte Lösung.


Aber mein Denkansatz war der Folgende: Bei Deiner Darstellung hast Du zwar theorethisch nur ein Zeichen aber das Zeichen hat ein Ende. "Was genau ist eigentlich ein Ende" ist hier die Frage. Ein Ende, ich denke da sind wir uns einig, ist die Definition dessen, wann ein Element in das Nichts übergeht. Und das Nichts ist in diesem Fall das, wo kein Zeichen steht.
Aber nehmen wir an, dass das Nichts kein Zeichen wäre, so würde es uns doch auch nicht zeigen, denn das Zeigen ist der Sinn eines Zeichens, wann das Zeichen endet. Du hast also eigentlich nicht 1111 aufgeschrieben.
Ich will das Verdeutlichen:
Also am Anfang ist Nichts da und dann kommt die Eins. Würden wir noch eine Eins schreiben, obwohl vorher kein Nichts kam, würden wir, wenn wir die Schreibweise auf Papier außer Acht lassen und uns nur der theorethischen Darstellung widmen, die Eins gar nicht beendet haben, bevor wieder die Eins kommt. Das Ergebnis entspräche also 1*1 anstatt 1 + 1. Wenn wir aber wieder das Nichts auf die eins folgen lassen, haben wir dargestellt, dass die erste Eins geendet ist und dass nun eine neue Eins kommt.
So verwenden wir aber zwei Zeichen, nämlich 1 und , die Leere. Dass wir zwei Aufeinanderfolgende Einsen auf Papier als zwei unabhängige Objekte wahrnehmen können, liegt nur daran, dass wir einen Zwischenraum lassen, der aber selbst ein Zeichen ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so nicht. In der Theorie der formalen Sprachen definiert man Worte über einem Alphabet, da gibt es auch das "leere Wort" , und die Operation "Konkatenation" verbindet Worte miteinander dadurch, dass man sie hintereinanderschreibt . Um eine bedeutungsvolle algebraische Struktur ("Halbgruppe") zu bekommen, identifiziert man . Das heißt man bildet die Faktormenge der Menge der Worte nach einer geeigneten Äquivalenzrelation.

Für dein Problem heißt das, du kannst beliebig viele 's in eine Zeichenkette einschieben oder weglassen ohne die Zeichenkette zu verändern. In diesem Sinne ist eine unäre Darstellung eindeutig (bis auf Isomorphie, denn du kannst natürlich statt I jedes andere Zeichen benutzen).

Anmerkung 1 : Wir sind uns nicht einig darüber was das Ende eines Wortes angeht. Der "Übergang ins Nichts" hat vielleicht etwas mit der Philosophie der Zeit zu tun, nicht aber mit formalen Sprachen.

Anmerkung 2 : Dein "Ende-Problem" ist kein Problem, da die Länge eines Wortes durch die Funktion Anzahl Zeichen in eindeutig definiert ist.
Offenbar ist und genau die Worte, die nur aus einem Zeichen des Alphabets bestehen haben die Länge 1.

Anmerkung 3 : Unlesbare Zeichen wie das Zeichen " " (Zwischenraum) zu benutzen ändert an der unären Darstellung nichts, diese hat nichts mit unserer Wahrnehmung zu tun. Das wäre ein Begriff aus der Erkenntnistheorie, die hier auch nicht weiterhilft. Per Isomorphie geht man einfach zu einem lesbaren Zeichen über.

Anmerkung 4 : Wenn du über "das Ergebnis" einer Zeichenkette oder "das Ergebnis" eines Wortes sprichst, kommen wir von der Syntax zur Semantik. Das ist ein ganz anderer Problemkreis. Selbstverständlich muss man vereinbaren wie ein Wort zu interpretieren ist, damit es eine Bedeutung erhalten kann. Hier steckt diese Vereinbarung in der Liste 0=I,1=II,... die die Worte den natürlichen Zahlen umkehrbar eindeutig zuordnet.
 
 
Klocke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Anmerkung 1 : Wir sind uns nicht einig darüber was das Ende eines Wortes angeht. Der "Übergang ins Nichts" hat vielleicht etwas mit der Philosophie der Zeit zu tun, nicht aber mit formalen Sprachen.


Okay, danke für Deine Erklärungen. Das sehe ich nun ein. Das Epsilon war zwar an formale Sprachen angelehnt, aber eigentlich wollte ich es nur zur Verdeutlichung benutzen was ich genau meine. Theoretisch kann man also unär Zahlen darstellen, aber praktisch, also für den Menschen erkennbar nur deshalb, weil die Schrift binär ist. Entweder das Papier ist weiß oder es ist schwarz. Mit unär meinte ich persönlich, dass das Papier zum Beispiel ausschließlich schwarz wäre. Dann wäre nur die Information da, dass dort ein Zeichen ist, aber nicht welches. Da Mathematik schriftlich stattfindet, kann man mathematisch unter den Vorraussetzungen der Schrift Zahlen sozusagen auch praktisch "unär" darstellen. Ich habe die Fragestellung also auf die Realität bezogen und deshalb war ich so verwundert als ich mir das erste Mal genaue Gedanken darüber gemacht habe, was unär eigentlich genau bedeutet.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegungen sind sehr interessant. Auf welche "Realität" beziehst du die natürlichen Zahlen ? Mathematik findet nicht nur schriftlich statt. Ich glaube an die Existenz von , weil ich die natürlichen Zahlen definieren kann (z.B. Peano-Axiome) und dann die Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) beweisen kann. Diese Realität der natürlichen Zahlen oder irgendwelcher anderer Zahlen hat mit Papier nichts zu tun. Formale Sprachen sind in der Informatik nützlich, da brauche ich auch nicht viel Papier um (Maschinen-)Zahlen und (endliche) Worte darzustellen.

Schwarze Zeichen auf schwarzem Papier ist KEIN Problem, wie ich erläutert habe, denn per Halbgruppenisomorphie kannst du weiße Zeichen benutzen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Problem ist es glaube ich nicht eine Zahl darzustellen, sondern eine Folge von Zahlen. Dann kannst du 4 3 nämlich nicht von 3 4 unterscheiden sondern brauchst ein "Trennsymbol". Richtig?

Das ist aber auch schon bei der dezimalen Schreibweise so. Ohne das Trennzeichen " " kannst du auch dort die Zahlen nicht unterscheiden. Also brauchst du auch da neben den Ziffern 0-9 ein Trennzeichen.
Klocke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Deine Überlegungen sind sehr interessant. Auf welche "Realität" beziehst du die natürlichen Zahlen ?


Realität ist glaube ich der falsche Begriff. Ich meine damit eigentlich das, was ein Mensch verarbeiten kann. Ich glaube dass ich einfach eine andere Vorstellung davon hatte, was unär ist. Wenn man von unärer Darstellung redet, meint man in der Regel, dass man ein Zeichen hat, das man verwenden kann oder auch nicht. Ich dachte aber dabei, dass man nur ein Zeichen hat, das man verwenden muss, weil es nur dieses gibt, weil es auch kein "Nichts" gibt, was man verwenden kann. Sodass man also garnicht "1111" für 3 schreiben kann, weil man ja dann aufhören müsste mit der Eins. Und das ginge ja nicht, weil man nur die 1 hat.

Zitat:
Original von kiste
Das ist aber auch schon bei der dezimalen Schreibweise so. Ohne das Trennzeichen " " kannst du auch dort die Zahlen nicht unterscheiden. Also brauchst du auch da neben den Ziffern 0-9 ein Trennzeichen.


Genau so meine ich das.
Denn man muss ja in der unären Darstellung auch nicht
1 = 0 definieren, sondern man kann auch
1 = 1
und wenn Nichts dasteht, ist es die Null festlegen. Also immer wenn keine 1 dasteht, rechnet man, um die Summe zu errechnen, plus 0 und immer wenn eine Eins da ist, rechnet man plus 1. Das sind dann 2 Möglichkeiten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

0=Nichts
1=I
2=II
...

ist eine problematische Liste, weil man nicht Nichts hat. Wenn man Nichts hätte, hätte man das Alphabet , und das ergäbe entsprechend der obigen Liste keine unäre Darstellung von , wohl aber eine unäre Darstellung von mit dem Alphabet .

ist zunächst mal die Menge der natürlichen Zahlen, wie oben ist eine unäre Darstellung definiert. Will man die Rechenoperationen berücksichtigen und damit algebraische Strukturen (z.B. ) darstellen, sind andere Überlegungen notwendig.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Klocke
Ich dachte aber dabei, dass man nur ein Zeichen hat, das man verwenden muss, weil es nur dieses gibt, weil es auch kein "Nichts" gibt, was man verwenden kann. Sodass man also garnicht "1111" für 3 schreiben kann, weil man ja dann aufhören müsste mit der Eins. Und das ginge ja nicht, weil man nur die 1 hat.


Das ist ein Denkfehler. In formalen Sprachen sind Wörter endlicher Länge möglich, d.h. sie existieren. Sie entstehen nicht durch einen Prozeß sondern sind Elemente der Menge der Wörter über einem Alphabet . Weiter oben habe ich angedeutet, wie man sie rekursiv definieren kann mit Hilfe der Funktionen Länge und Konkatenation : "Wörter der Länge 0" =, "Wörter der Länge 1" = , "Wörter der Länge n+1" = , dann gilt .
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