Flüsse, zeigen dass eine Menge offen in R x R^2 enthalten ist.

04.08.2011, 23:44	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Flüsse, zeigen dass eine Menge offen in R x R^2 enthalten ist. Hallo, die Aufgabe ist folgende: http://www.ifam.uni-hannover.de/~ehrnstr...a/GDGL_Ueb8.pdf Aufgabe 1. Ein Fluss ist definiert als: Es gelte : $\begin{eqnarray} \forall x \in M \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray} \exists I_{x} \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ein offenes Intervall mit $\begin{eqnarray} 0 \in I_{x} \end{eqnarray}$ Setze: $\begin{eqnarray} <br /> \Omega := \bigcup I_{x} \times \left\{x\right\} \subset \mathbb R \times M<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi: \Omega \rightarrow M \end{eqnarray}$ ist ein Fluss wenn diese Eigenschaften gelten: 1. $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist offen in $\begin{eqnarray} \mathbb R \times {\mathbb R}^n \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \phi \in C(\Omega,\mathbb R^n ) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \phi(0,x)=x \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} \phi(t, \phi(s,x))=\phi(t+s,x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall s \in I_{x}, t \in t_{\phi(s,x)} \end{eqnarray}$ Dass bei (i) von Aufgabe 1, also bei: $\begin{eqnarray} <br /> \phi(t, [x,y]) := [exp(tx),exp(ty)]<br /> \end{eqnarray}$ die 3. Bedingung nicht erfüllt ist, ist offensichtlich. Aber: 1.) Wie zeigt man hier z.B. ob das Omega offen ist in R x R^2? 2.)Könnte ich den 2. Punkt, also die Stetigkeit z.B. damit begründen, dass exp(tx) und exp(ty) differenzierbar sind in R, und daher auf das phi stetig ist?
06.08.2011, 14:24	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flüsse, zeigen dass eine Menge offen in R x R^2 enthalten ist. Oder muss man zeigen, dass R x R^2 in R x R^n ist? wenn ja, wie? Und wie zeigt man nun die Stetigkeit einer Funktion von R x R^2 nach R^n? Ist mir irgendwie nicht so anschaulich wie im Falle R nach R...?

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