Kommutatorgruppe nicht abelsch?

05.08.2011, 15:21

mathinitus

Kommutatorgruppe nicht abelsch?

Bildlich gesprochen ist ja die Kommutatorgruppe K(G) die Untergruppe von G, die G daran stört abelsch zu sein. Teilt man diese raus, ist G abelsch. Außerdem gibt es keine weitere Gruppe, H mit $\begin{eqnarray*} H\cap K(G) \ne K(G) \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft. So liegt die Vermutung nahe, dass K(G) genau dann abelsch ist, wenn es G ist (K(G) folglich trivial). Ist das auch so?

05.08.2011, 15:24

jester.

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RE: Kommutatorgruppe nicht abelsch?

Zitat:

Original von mathinitus
So liegt die Vermutung nahe, dass K(G) genau dann abelsch ist, wenn es G ist (K(G) folglich trivial). Ist das auch so?

Nein, das ist nicht so, etwa ist die Kommutatorgruppe der nichtabelschen $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ die abelsche Gruppe $\begin{eqnarray*} V_4 \cong C_2\times C_2 \end{eqnarray*}$ .

05.08.2011, 15:31

mathinitus

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Okay, wenn es so wäre, dann wäre jede auflösbare Gruppe abelsch, oder? Denn man bekommt ja eine "Auflösung" einer auflösbaren Gruppe, indem man immer wieder die Kommutatorgruppe bildet, bis man bei der 1 landet.

05.08.2011, 15:38

mathinitus

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Im abelschen Fall ist ja auch $\begin{eqnarray*} Z(G) \times K(G) \cong G \end{eqnarray*}$ , ich nehme mal stark an, dass das im Allgemeinen nicht der Fall ist, sonst hätte man das schon einmal irgendwo gelesen.
Gilt den wenigstens das?
$\begin{eqnarray*} |Z(G) \times K(G)| = |G| \end{eqnarray*}$
Ich tippe zwar auch auf nein, doch ein Versuch ist es ja wert Augenzwinkern

05.08.2011, 15:46

jester.

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Zu deinem letzten Beitrag: die $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ liefert uns wieder ein Gegenbeispiel, denn dort ist $\begin{eqnarray*} Z(A_4)\times (A_4)'=\{1\}\times V_4 \lneq A_4 \end{eqnarray*}$ .

Zu deinem vorletzten Beitrag:

Zitat:

Okay, wenn es so wäre, dann wäre jede auflösbare Gruppe abelsch, oder?

Das verstehe ich nicht ganz. Es ist sicherlich nicht jede auflösbare Gruppe abelsch. Ein Gegenbeispiel ist wieder die $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ .

Nachtrag: Man kann im Regelfall auch gar nicht erwarten, dass $\begin{eqnarray*} Z(G)\times G' \end{eqnarray*}$ zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ isomorph ist.
Sei etwa $\begin{eqnarray*} G:=\langle x,y ~|~ x^4, ~ x^2=y^2, ~ yxy^{-1}=x^{-1}\rangle \cong Q_8 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} Q_8 ' \cong C_2 \cong Z(Q_8) \end{eqnarray*}$ , aber die drei Untergruppen der $\begin{eqnarray*} Q_8 \end{eqnarray*}$ von Ordnung 4 sind isomorph zu $\begin{eqnarray*} C_4 \not\cong C_2\times C_2 \end{eqnarray*}$ .

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