Operator

18.12.2006, 17:37

Firefox2000

Operator

Hi !

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es ist auf einem unitären Vektorraum folgende Operatornorm definiert:
$\begin{eqnarray*} \alpha: V \to V \qquad \vert\vert \alpha \vert\vert = \sup_{ \vert\vert f \vert\vert = 1}{ \vert\vert \alpha(f) \vert\vert } \end{eqnarray*}$ . Man hat eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} \lbrace f_{n}(t) = \sqrt{n} f_{0}(n t) \rbrace_{n \in \mathbb{N}} \subset C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vert\vert f_{0} \vert\vert^{2} := \int_{-\infty}^{\infty} \vert f_{0}(t) \vert^{2} dt = 1 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Man soll nun zeigen dass $\begin{eqnarray*} \vert\vert f_{n} \vert\vert^{2} = 1 \forall n \end{eqnarray*}$ , jedoch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \vert \vert f_{n}' \vert\vert = \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Hat jemand einen Ansatz?

Danke

18.12.2006, 18:09

Mathespezialschüler

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Was hat die ganze Aussage mit der Operatornorm zu tun? Nichts oder etwa doch? Wenn ich das richtig sehe, hast du doch einfach eine Folge reeller Funktion $\begin{eqnarray*} f_n\in C_0^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ (was bedeutet die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ dabei?), für die du zeigen sollst, dass $\begin{eqnarray*} \|f_n\|^2=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\|f'_n\|=\infty \end{eqnarray*}$

gelten, wobei die Norm eben definiert ist durch

$\begin{eqnarray*} \|f\|=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f_0(t)|^2~\mathrm dt\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f\in C_0^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .
Und um das zu zeigen, musst einfach alles nur ausrechnen.

Gruß MSS

18.12.2006, 19:42

Firefox2000

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sorry hab ich vergessen zu schreiben: Es hat was mit Operatornorm zu tun, denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \vert \vert f_{n}' \vert\vert = \infty \end{eqnarray*}$ heißt, dass der lin. Ableitungsoperator $\begin{eqnarray*} D : C_{0}^{\infty} \to C_{0}^{\infty}, \, \, f(t) \mapsto \frac{d}{dt} f(t) \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt $\begin{eqnarray*} \left( \vert \vert D \vert\vert = \infty \right) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß leider nicht was die 0 bei $\begin{eqnarray*} C_0^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Ich hab zwar mal eingesetzt und erhalt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \vert \vert f_{n} \vert \vert^{2} = < f_{n}, f_{n} > = n \, < f_{0}(n \, t), f_{0}(n \, t)> = n \, \int_{-\infty}^{\infty} \vert f_{0}(n \, t) \vert^2 dt \end{eqnarray*}$

Damit das ganze nun 1 ergibt muss das Integral 1/n ergeben, ich weiß nur nicht wie man das zeigt.

18.12.2006, 20:33

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn ich das richtig sehe, hast du doch einfach eine Folge reeller Funktion $\begin{eqnarray*} f_n\in C_0^{\infty}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ (was bedeutet die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ dabei?), ...

Die Null bedeutet, dass die Elemente dieses Funktionenraumes zusätzlich einen kompakten Träger haben.

Edit: Üblicherweise wird $\begin{eqnarray*} C_0^\infty(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit der Supremumsnorm ausgestattet, d.h.

$\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty=\sup_{x\in\mathbb{R}}\{|f(x)|\}=\sup_{x\in\operatorname{supp}f}\{|f(x)|\} \end{eqnarray*}$

18.12.2006, 22:24

Mathespezialschüler

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Zum Integral: Substitution! $\begin{eqnarray*} x=nt \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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