Wesentliche Singularität

05.08.2011, 17:37

Eroli

Wesentliche Singularität

Hallo zusammen,

ich habe Probleme einen Rechenweg nachzuvollziehen, vielleicht kann einer von euch ja Licht ins Dunkel bringen?

Zu untersuchen ist die funktion $\begin{eqnarray*} h(z) \end{eqnarray*}$ auf Singularitäten und zu bestimmen, um welche es sich handelt.

Die Musterlösung geht so vor:

$\begin{eqnarray*} h(z) = exp(\frac{1}{(z-1)^2}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (\frac{1}{z-1})^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (z-1)^{-2n} = \sum_{n=0}^{\infty} c_{-n} (z-1)^{-n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c_{-n} = \frac{1}{(\frac{n}{2})!} \quad\mathrm{(n\,gerade)} \end{eqnarray*}$
Und
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = 0\quad\mathrm{(n\, ungerade)} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf diese Koeffizienten?

Dann kommt noch der Abschlusssatz: Da unendlich viele der Koeffizienten von Null verschieden sind, handelt es sich bei z=1 um eine wesentliche Singularität

Vielen Dank für jede Hilfe!

05.08.2011, 17:40

sergej88

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Hallo,

schreibe die Reihe mal explizit aus, dann siehst du gerade, dass nur die geraden Koeffizienten verschieden von Null sind.

Und dieses reicht ja bekanntlich aus, damit es keine wesentliche Singularität ist..

mfg

05.08.2011, 18:18

Eroli

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Sorry, verstehe ich nicht.

Die Koeffizienten sind für mich 1/nFakultät und das wird doch nie null?
Außerdem irritiert mich, warum im Exponenten aus der "-2n" ein "-n" wird?

Etwas Starthilfe scheine ich wohl doch noch zu brauchen...

05.08.2011, 23:23

jester.

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Zitat:

Original von sergej88
[...] dass nur die geraden Koeffizienten verschieden von Null sind.

Und dieses reicht ja bekanntlich aus, damit es keine wesentliche Singularität ist..

Ich schätze du hast dich nur vertippt (eine <> keine), denn die Tatsache, dass unendlich viele "negative" Koeffizienten (Hauptteil der Laurentreihe) von Null verschieden sind bedeutet m.E., dass eine wesentliche Singularität vorliegt.

@Eroli: Was sergej88 mit seinem Tipp "schreibe die Reihe mal explizit aus" meinte, ist folgendes: schreibe die Reihe explizit aus als $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} (z-1)^{-2n}= 1 + 0 \cdot (z-1)^{-1} + 1\cdot (z-1)^{-2} + 0 \cdot (z-1)^{-3} + \frac 1 2 (z-1)^{-4} + ... \end{eqnarray*}$
Dies kann man nun offensichtlich durch geeinete Wahl eines Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_{-n} \end{eqnarray*}$ als Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty c_{-n}(z-1)^{-n} \end{eqnarray*}$ schreiben.

06.08.2011, 12:24

sergej88

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@ jester, ja hast recht, keine wäre etwas komisch.

Damit das kein spam ist:

Im ersten Schritt wird die Definition der Expreihe benutzt, also
$\begin{eqnarray*} \exp(w) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!} \end{eqnarray*}$

anschliessend betrachtet man den Fall $\begin{eqnarray*} w = (z-1)^{-2} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es hilft.

06.08.2011, 14:48

Eroli

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Sorry, ich scheine wirklich ein Brett vorm Kopf zu haben. Wenn ich die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (z-1)^{-2n} \end{eqnarray*}$
ausschreibe, dann sehen die Summanden so aus:

n = 0:
$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

n = 1:
$\begin{eqnarray*} (z-1)^{-2} \end{eqnarray*}$

n = 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (z-1)^{-4} \end{eqnarray*}$

n = 3:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} (z-1)^{-6} \end{eqnarray*}$

...und so weiter...

Wo ist mein Denkfehler?

06.08.2011, 16:04

sergej88

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Wo sind die ungeraden Potenzen geblieben. Vergleiche dazu mit jesters Beitrag.

mfg

06.08.2011, 16:22

Eroli

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Wie sollen die Potenzen -2n denn ungerade werden? Ist doch gar nicht möglich?

Mit fällt gerade auf, dass ich dasselbe Verständnisproblem auch bei einer anderen Übungsaufgabe habe...

EDIT:

$\begin{eqnarray*} sin(1/z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!} \frac{1}{z^{2k+1}} = \sum_{n=0}^\infty c_{-n} z^{-n} \end{eqnarray*}$

mit:
k gerade:
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = 0 \end{eqnarray*}$

k = 4l+1 (l bel. ganze Zahl):
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = \frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

k = 4l + 3 (l bel. ganze Zahl):
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = - \frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Auch hier komme ich nicht auf diese Koeffizienten? Bin ich blöd?

EDIT2:
Wenn es darum geht, die Reihe in das Muster umzuformen $\begin{eqnarray*} \sum{n=0}^\infty c_{-n} z^{-n} \end{eqnarray*}$ , dann komme ich auf folgendes Aussehen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} z^{-n-1} z^{-n} \end{eqnarray*}$
Dann wären meine Koeffizienten
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} z^{-n-1} \end{eqnarray*}$

Aber das kann doch auch nciht sein?!?!

06.08.2011, 16:27

Airblader

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Richtig, es gibt ja eben keine ungeraden Potenzen. Also schummelst du sie mit Koeffizient Null rein. Dann kannst du das ganze auch als Reihe zur Potenz n statt 2n schreiben.
Vielleicht hilft es so:

$\begin{eqnarray*} x + x^3 + x^5 + \ldots = 0 \cdot x^0 + 1 \cdot x^1 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4 + 1 \cdot x^5 + \ldots \end{eqnarray*}$

air

06.08.2011, 16:31

Eroli

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Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah

Ich habe es verstanden :-)
Erst jetzt ist mir die "0" so richtig aufgefallen in der ausgeschriebenen Reihe von jester :-)

Vielen Dank an Alle :-)

EDIT: Kann man hier Themen als "Erledigt" markieren?

EDIT: Ich muss alles zurücknehmen :-DDie 0 bei den Koeffizienten ist nun klar, aber wie kommt man auf (n/2)! ? Warum muss das nicht (n!) heißen (siehe Eröffnungspost)

Bei der zweiten Übungsaufgabe verstehe ich die Koeffizienten

Zitat:

k = 4l+1 (l bel. ganze Zahl):
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = \frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

k = 4l + 3 (l bel. ganze Zahl):
$\begin{eqnarray*} c_{-n} = - \frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

auch nicht. Wie kommt man auf das Minus?
Betrachten wir den Fall l = 0, dann ist (-1)^k = -1 und zwar immer für ungerades k, oder nicht?!

06.08.2011, 16:45

Airblader

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Schauen wir uns mal

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}z^{2k} = \frac{1}{0!}z^0 + 0 \cdot z^1 + \frac{1}{1!} z^2 + 0 \cdot z^3 + \frac{1}{2!} z^4 + \ldots =: \sum_{k=0}^\infty c_kz^k \end{eqnarray*}$

genauer an. Der Koeffizient vor z^4 ist 1/(2!), wie du siehst. Du kannst es dir auch erklären, indem du in der Reihe sozusagen m := k/2 substituierst, denn du musst ja das '2k' im Exponenten zu einem einfachen 'k' runterbrechen.

air

07.08.2011, 19:53

Eroli

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Danke, endlich verstanden :-)

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