Skalarprodukt mit drei Vektoren

05.08.2011, 17:16

item_no

Skalarprodukt mit drei Vektoren

Hallo

Ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} (\vec{a} x \vec{b}) x \vec{c} = (\vec{a} *\vec{b} )\vec{c} - (\vec{b} *\vec{c} )\vec{a} \end{eqnarray*}$

Die linke Seite kann man relativ einfach bestimmen, in dem man zwei mal das Vektorprodukt bildet.
Auf der rechten Seite berechne ich zunächst das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , was ja eine Zahl ergibt (und keinen Vektor - oder kann ich das Produkt irgendwie als Vektor schreiben?)und dann weiß ich nicht wirklich weiter.

Muss man dann das Produkt (axbx+ayby+azbz) mit $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ multiplizieren?

Dann würde der rechte Ausdruck zu:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} (axbx+ayby+azbz) c_x \\ (axbx+ayby+azbz) c_y \\ (axbx+ayby+azbz) c_z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (bxcx+bycy+bzcz) a_x \\ (bxcx+bycy+bzcz) a_y \\ (bxcx+bycy+bzcz) c_z \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Kann man den Ausdruck noch weiterberechnen? Theoretisch kann ich die inneren Klammern noch aus Multiplizieren und dann fällt jeweils ein Term pro Seite weg. Dem Ergebnis näher bringt mich das aber nicht.

Grundsätzlich überlege ich immer noch ob

$\begin{eqnarray*} (\vec{a} * \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} * \vec{c}) \end{eqnarray*}$

Aber dann würde der rechte Ausdruck ja zu 0 verwirrt

..

Bin für jeden Tipp dankbar!

Gruß
Simon

05.08.2011, 17:41

Dopap

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RE: Skalarprodukt mit drei Vektoren

Zitat:

Original von item_no
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} (\vec{a} x \vec{b}) x \vec{c} = (\vec{a} *\vec{b} )\vec{c} - (\vec{b} *\vec{c} )\vec{a} \end{eqnarray*}$

Deine Gleichung enthält 3 Malzeichen
1.) x
2.) *
3.) nichtgeschriebenes ( implizites ) Mal nach der Klammer.

wie ist die Interpretation dieser "Zeichen" ?

05.08.2011, 17:48

item_no

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1.) x = Kreuz/Vektorprodukt
2.) * = Mal / Skalarprodukt
3.) Ist mir selber nicht ganz klar -> Aufgabe ist von Papula, ich vermute ein nichtgeschriebenes Mal (*)

05.08.2011, 18:09

Dopap

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das würde so nicht funktionieren.

Wenn "*" Skalarprodukt ist, dann ist implizites "Mal" die S-Multiplikation, d.h. Zahl mal Vektor.

So würde es jedenfalls von der Dimension her stimmen:

Vektor = Vektor

hilft das weiter?

05.08.2011, 18:20

item_no

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Das ist wohl wahr. Also war ich schon auf dem richtigem Weg..

Werde das ganze nochmal in Ruhe durchrechnen..

05.08.2011, 19:06

riwe

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RE: Skalarprodukt mit drei Vektoren

Zitat:

Original von item_no
Hallo

Ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} (\vec{a} x \vec{b}) x \vec{c} = (\vec{a} *\vec{b} )\vec{c} - (\vec{b} *\vec{c} )\vec{a} \end{eqnarray*}$

Die linke Seite kann man relativ einfach bestimmen, in dem man zwei mal das Vektorprodukt bildet.
Auf der rechten Seite berechne ich zunächst das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ , was ja eine Zahl ergibt (und keinen Vektor - oder kann ich das Produkt irgendwie als Vektor schreiben?)und dann weiß ich nicht wirklich weiter.

Gruß
Simon

mich würde es wundern, wenn du da auf einen grünen zweig kommtest,
denn so wie es da steht, stimmt die graßmann identität nicht, denke ( Augenzwinkern

) ich

richtig sollte sein:

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\cdot\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\cdot\vec{a} \end{eqnarray*}$

und hier würde ich (trotzdem) zeigen, dass der linke teil gleich dem rechten ist, und zwar so für die 1. komponente:

$\begin{eqnarray*} (a_3b_1-a_1b_3)\cdot c_3-(a_1b_2-a_2b_1)\cdot c_2=(a_2c_2+a_3c_3)\cdot b_1-(b_2c_2+b_3c_3)\cdot a_1+a_1b_1c_1-a_1b_1c_1 \end{eqnarray*}$ qued

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