Linearformen und Lineare Abbildung

05.08.2011, 17:22	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearformen und Lineare Abbildung Hallo, da ich grade am Lernen bin habe ich schon wieder eine Aufgabe zu lösen, in dem Fall ist es eher eine Frage ob meine Herangehensweise richtig ist, eine Musterlösung habe ich: Es seien V ein dreidimensionaler K- Vektorraum und $\begin{eqnarray} \phi_{1} , \phi_{2}, \phi_{3} \end{eqnarray}$ Linearformen auf V. Zeigen Sie, dass diese Linearformen genau dann linear abhängig sind, wenn es einen Vektor $\begin{eqnarray} v \in V ohne \{0\} \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \forall i \in \{1,2,3\} : \phi_{i}(v) = 0 \end{eqnarray}$ Also wie gesagt ich habe eine Musterlösung, nur machen die ein wenig anders. Meine Idee war Sei $\begin{eqnarray} \theta(v) \end{eqnarray}$ lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix: $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} - & \phi_{1} & - \\ - & \phi_{2} & - \\ - & \phi_{3} & - \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . "=>" Sind $\begin{eqnarray} \phi_{1},\phi_{2},\phi_{3} \end{eqnarray}$ linear abhängig, so ist der Rang der Matix A< 3, was nach dem Kern-Bild Satz für lineare Abbildungen bedeutet, $\begin{eqnarray} dim(ker \theta) \neq 0 \end{eqnarray}$ Was bedeutet, dass es Vektoren aus V \ {0} gibt, für die gilt: $\begin{eqnarray} \phi_{i}(v) = 0 \end{eqnarray}$ für i = 1,2,3. Umgekehrt analog: Wieder mit dem Bild-Kern Satz für lineare Abbildungen. Ich bin mir hier halt nicht so sicher, ob die die Linearformen und Lineare Abbildungen "durcheinenader" werfen darf.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »